Leer los cuatro parámetros

Para $y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1$, halla la amplitud, el período, el desfase, la línea media y el recorrido.

Comparar con la forma general: Compara con $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1$

Amplitud y período: Amplitud $= |3| = 3$, período $= \frac{2\pi}{2} = \pi$ = Amplitud $3$, período $\pi$

Desfase y línea media: $C = \frac{\pi}{6} > 0$, así que el desplazamiento es a la derecha; $D = -1$ = $\frac{\pi}{6}$ a la derecha, línea media $y = -1$

Recorrido: $[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]$ = $[-4, 2]$

Answer: Amplitud $3$, período $\pi$, desfase $\frac{\pi}{6}$ a la derecha, línea media $y = -1$, recorrido $[-4, 2]$.

Sacar B factor común antes de leer el desfase

Halla el desfase y el período de $y = \sin(3x - \pi)$.

Sacar $B = 3$ factor común: $3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ = $y = \sin(3(x - \frac{\pi}{3}))$

Leer el desfase: $C = \frac{\pi}{3} > 0$ = $\frac{\pi}{3}$ a la derecha

Hallar el período: $\frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{3}$ = Período $\frac{2\pi}{3}$

Comprobar dónde empieza el ciclo: El ciclo empieza donde el paréntesis vale $0$: $3x - \pi = 0$ = $x = \frac{\pi}{3}$, coincide

Answer: El desfase es $\frac{\pi}{3}$ a la derecha (no $\pi$) y el período es $\frac{2\pi}{3}$.

Representar con los cinco puntos clave

Representa un período de $y = 2\sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 1$.

Leer los parámetros: Compara con $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 2,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{4},\ D = 1$

Período y paso: Período $= \frac{2\pi}{2} = \pi$, paso $= \frac{\pi}{4}$ = Paso $\frac{\pi}{4}$

Los cinco valores de x: Empieza en $x = C = \frac{\pi}{4}$ y suma $\frac{\pi}{4}$ cuatro veces = $\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4}$

Los cinco valores de y (patrón del seno): Línea media $1$, máximo $1 + 2 = 3$, línea media $1$, mínimo $1 - 2 = -1$, línea media $1$ = $1,\ 3,\ 1,\ -1,\ 1$

Dibujar y unir: Traza una onda suave por los cinco puntos y repítela hacia ambos lados = Recorrido $[-1, 3]$

Answer: Un ciclo va de $x = \frac{\pi}{4}$ a $x = \frac{5\pi}{4}$ pasando por $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\pi, -1)$ y $(\frac{5\pi}{4}, 1)$. El recorrido es $[-1, 3]$.

Un coseno reflejado

Representa un período de $y = -3\cos(\frac{1}{2}(x + \pi)) + 2$.

Leer los parámetros: $x + \pi = x - (-\pi)$ = $A = -3,\ B = \frac{1}{2},\ C = -\pi,\ D = 2$

Período y paso: Período $= \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$, paso $= \frac{4\pi}{4} = \pi$ = Paso $\pi$

Los cinco valores de x: Empieza en $x = -\pi$ y suma $\pi$ cuatro veces = $-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi$

Los cinco valores de y: El coseno empieza en un máximo, pero $A < 0$ lo invierte: mínimo, línea media, máximo, línea media, mínimo con mínimo $2 - 3$ y máximo $2 + 3$ = $-1,\ 2,\ 5,\ 2,\ -1$

Dominio y recorrido: $[D - |A|,\ D + |A|] = [2 - 3,\ 2 + 3]$ = Dominio todos los reales, recorrido $[-1, 5]$

Answer: Puntos clave $(-\pi, -1)$, $(0, 2)$, $(\pi, 5)$, $(2\pi, 2)$, $(3\pi, -1)$. El recorrido es $[-1, 5]$.

El orden de las transformaciones

Describe, en el orden correcto, cómo $y = \sin(x)$ se convierte en $y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{2}) - 1$, y halla el primer máximo a la derecha del inicio del ciclo.

Sacar $B = 3$ factor común: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Cambios horizontales (dentro): Primero comprimir por el factor $3$ (período $\frac{2\pi}{3}$), después trasladar = $\frac{\pi}{6}$ a la izquierda

Cambios verticales (fuera): Primero estirar por $2$ (amplitud $2$), después trasladar = $1$ hacia abajo, línea media $y = -1$

Primer máximo: Inicio $x = -\frac{\pi}{6}$, paso $= \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$, así que el máximo está en $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$ con $y = -1 + 2$ = $(0, 1)$

Comprobar en la ecuación original: $2\sin(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1$ = $1$, correcto

Answer: Comprimir horizontalmente por $3$, trasladar $\frac{\pi}{6}$ a la izquierda, estirar verticalmente por $2$, trasladar $1$ hacia abajo. El ciclo empieza en $x = -\frac{\pi}{6}$ y el primer máximo es $(0, 1)$.

Mistake: Leer el desfase de $y = \sin(2x - \pi)$ como $\pi$

Why: El desplazamiento es el número que se resta a la propia $x$, no a $2x$. $B$ multiplica todo el paréntesis, así que también comprime el desplazamiento.

Correct: Saca primero $B$ factor común: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$, así que el desplazamiento es $\frac{\pi}{2}$ a la derecha.

Mistake: Trasladar $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ hacia la derecha

Why: La forma general tiene $x - C$. Aquí $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$, así que $C = -\frac{\pi}{3}$ es negativo.

Correct: Un signo más dentro del paréntesis significa un desplazamiento a la izquierda: $\frac{\pi}{3}$ a la izquierda.

Mistake: Empezar los puntos clave en $x = 0$ o avanzar un período entero

Why: Tras un desfase el ciclo ya no empieza en $0$, y los cinco puntos deben dividir UN período en cuatro partes iguales.

Correct: Empieza en $x = C$ y avanza en pasos de $\frac{\text{período}}{4}$. Con período $\pi$, el paso es $\frac{\pi}{4}$.

Mistake: Mantener el orden habitual de máximo y mínimo cuando $A < 0$

Why: Un $A$ negativo refleja la onda respecto a su línea media: cada máximo se convierte en mínimo y al revés.

Correct: Para $y = -2\sin(x)$ el patrón es línea media, mínimo, línea media, máximo, línea media. La amplitud sigue siendo $2$.

Altura en una noria

La altura de una cabina en una noria que gira es un coseno transformado: el centro de la noria da la línea media y el radio da la amplitud.

Una noria de radio 20 m, cuyo centro está a 22 m del suelo, da una vuelta cada 30 minutos. Una cabina que sale desde abajo está a una altura de $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ metros tras $t$ minutos, y el período es $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$.

Mareas en un puerto

Las capitanías de puerto predicen la profundidad del agua con un modelo senoidal de período aproximado de 12 horas, para que los barcos sepan cuándo pueden entrar.

La profundidad $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ metros, $t$ horas después de medianoche, tiene línea media 4 m, amplitud 1,5 m y período $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas. La profundidad oscila entre 2,5 m y 5,5 m.

Horas de luz solar

El número de horas de luz a lo largo del año sigue una onda senoidal con período de 365 días. La línea media está en 12 horas, la duración del día en los equinoccios.

En una ciudad del norte de Europa, $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ horas, donde $t$ es el día del año. El día 80 (hacia el 21 de marzo) es el equinoccio de primavera, y la duración del día oscila entre 8 y 16 horas.

Q: ¿Por qué el desfase de $\sin(2x - \pi)$ no es $\pi$?

A: Porque $B = 2$ multiplica todo el paréntesis. Sácalo factor común: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. El ciclo empieza donde el paréntesis vale $0$, en $x = \frac{\pi}{2}$, así que el desplazamiento es $\frac{\pi}{2}$.

Q: ¿De verdad importa el orden de las transformaciones?

A: Sí, para una traslación y un estiramiento en la misma dirección. Si trasladas $\sin(x)$ $\frac{\pi}{2}$ a la derecha y DESPUÉS comprimes por $2$, obtienes $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, un desplazamiento de solo $\frac{\pi}{4}$. Los cambios horizontales y verticales no se afectan entre sí, así que puedes hacer esos dos grupos en cualquier orden.

Q: ¿Los puntos clave funcionan igual para el coseno?

A: Sí. Empieza en $x = C$ y avanza en pasos de $\frac{\text{período}}{4}$ igual que con el seno. Solo cambia el patrón de los valores de y: el coseno va máximo, línea media, mínimo, línea media, máximo (o al revés si $A < 0$).

Q: ¿Y si $B$ es negativo?

A: Reescribe primero la función. El seno es impar, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, así que $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. El coseno es par, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, así que $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Después $B > 0$ y el método funciona como siempre.