Escribir en seno y coseno

Simplifica $\dfrac{\tan x}{\sec x}$.

Escribir la tangente y la secante en seno y coseno: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}$

Dividir entre una fracción: multiplicar por su inversa: $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{1}$ = $\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$

Simplificar el factor común $\cos x$: $\frac{\sin x \cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}}$ = $\sin x$

Answer: $\dfrac{\tan x}{\sec x} = \sin x$

Factor común y una identidad pitagórica

Simplifica $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x$.

Los dos términos contienen $\cos^2 x$: sácalo como factor común: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = \cos^2 x(\tan^2 x + 1)$ = $\cos^2 x(\tan^2 x + 1)$

Usar la identidad pitagórica $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$: $\cos^2 x \cdot \sec^2 x$ = $\cos^2 x \sec^2 x$

Usar la identidad recíproca $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$: $\cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$ = $1$

Answer: $\cos^2 x \tan^2 x + \cos^2 x = 1$ (para todo $x$ donde $\tan x$ está definida)

Diferencia de cuadrados

Simplifica $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$.

Reconocer en el numerador una diferencia de cuadrados $a^2 - b^2$: $a = \cos x$, $b = \sin x$ = $\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$

Escribir el numerador factorizado sobre el denominador: $\dfrac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$ = El factor $\cos x - \sin x$ aparece arriba y abajo

Simplificar el factor común: Se puede porque es un factor de todo el numerador = $\cos x + \sin x$

Answer: $\dfrac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x$ (donde $\cos x \neq \sin x$)

Sumar fracciones con denominador común

Simplifica $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x}$.

Usar el denominador común $(1 + \cos x)(1 - \cos x)$: $\dfrac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$ = Una sola fracción

Simplificar el numerador: $1 - \cos x + 1 + \cos x = 2$ = $\dfrac{2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}$

Desarrollar el producto del denominador (diferencia de cuadrados): $(1 + \cos x)(1 - \cos x) = 1 - \cos^2 x$ = $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x}$

Usar la identidad pitagórica $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $\dfrac{2}{\sin^2 x}$ = $\dfrac{2}{\sin^2 x}$

Usar la identidad recíproca $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$ = $2\csc^2 x$

Answer: $\dfrac{1}{1 + \cos x} + \dfrac{1}{1 - \cos x} = 2\csc^2 x$

Comprobar una simplificación con un ángulo

Una compañera dice que $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Compruébalo con $x = 60°$ y luego confírmalo con álgebra.

Calcular el lado izquierdo para $x = 60°$: $\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + 1$ = $1{,}5$

Calcular el lado derecho para $x = 60°$: $\cos 60° + 1 = 0{,}5 + 1$ = $1{,}5$

Mismo valor, así que pasa la prueba. Un solo ángulo no lo demuestra, así que toca álgebra: separar la fracción: $\dfrac{\sin x}{\tan x} + \dfrac{\tan x}{\tan x} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 1$ = $\cos x + 1$

Answer: La simplificación es correcta: $\dfrac{\sin x + \tan x}{\tan x} = \cos x + 1$. Si los dos valores en $60°$ hubieran sido distintos, habría sido falsa con seguridad.

Mistake: Simplificar un término en vez de un factor: $\dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \cos x$

Why: Solo se simplifican factores de TODO el numerador y de todo el denominador. Aquí $\sin x$ es solo un término de la suma $\sin x + \cos x$. Para $x = 45°$ el lado izquierdo vale $2$, mientras que $\cos 45° \approx 0{,}71$.

Correct: Separa la fracción: $\dfrac{\sin x}{\sin x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = 1 + \cot x$.

Mistake: Olvidar los cuadrados: escribir $1 - \sin x = \cos x$

Why: La identidad pitagórica habla de cuadrados: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Sin los cuadrados es falsa: para $x = 30°$, $1 - \sin 30° = 0{,}5$ pero $\cos 30° \approx 0{,}87$.

Correct: Solo $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ es cierta. Si ves $1 - \sin x$, piensa mejor en la diferencia de cuadrados o en un conjugado.

Mistake: Sumar fracciones sumando los denominadores: $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{2}{\sin x + \cos x}$

Why: Las fracciones trigonométricas siguen las mismas reglas que las fracciones numéricas, y $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ no es $\frac{2}{5}$.

Correct: Usa el denominador común $\sin x \cos x$: $\dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x \cos x}$.

Mistake: Fiarse de una comprobación con un solo ángulo especial como $45°$

Why: Para $x = 45°$ se cumple $\sin x = \cos x$, así que muchas simplificaciones falsas (como $\sin x\tan x = \cos x$) dan allí el mismo número por casualidad.

Correct: Comprueba con uno o dos ángulos "normales", por ejemplo $20°$ y $50°$. Una diferencia demuestra un error; valores iguales solo hacen probable el resultado, la demostración la da el álgebra.

Fórmulas de ingeniería

Los ingenieros obtienen a menudo fórmulas de fuerzas y tensiones como largas expresiones trigonométricas después de combinar varias partes. Simplificar primero hace fáciles los números y reduce los errores.

La fuerza sobre una viga inclinada sale como $F = 50(1 - \cos^2\theta)\csc\theta$ newtons. Como $(1 - \cos^2\theta)\csc\theta = \sin\theta$, es simplemente $F = 50\sin\theta$.

Código más rápido en videojuegos y gráficos

Los motores de videojuegos calculan expresiones trigonométricas millones de veces por segundo. Cada llamada a una función que te ahorras al simplificar hace el programa más rápido.

Una rutina de rotación calcula $\dfrac{\sin x}{\tan x}$ en cada fotograma. Como $\dfrac{\sin x}{\tan x} = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cos x$, dos llamadas a funciones y una división se convierten en una sola llamada.

Rampas y pendientes en la construcción

Los constructores y topógrafos trabajan con la altura de una rampa sobre una distancia horizontal. Las fórmulas de hoja de cálculo hechas en varios pasos a menudo esconden una simple tangente.

Una hoja de cálculo obtiene la altura de una rampa como $h = d\sin x\sec x$, donde $d$ es la distancia horizontal. Como $\sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, la fórmula es en realidad $h = d\tan x$.

Q: ¿Cómo sé que una expresión está completamente simplificada?

A: Normalmente cuando tiene el menor número posible de términos y de funciones distintas, sin fracciones dentro de fracciones. Si el enunciado indica un objetivo ("en función de $\sin x$", "como una sola función"), para cuando llegues a esa forma.

Q: ¿Siempre tengo que escribir todo en seno y coseno?

A: Es la estrategia general más segura, porque así solo quedan dos funciones y se puede aplicar la identidad pitagórica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. A veces un atajo es más rápido, por ejemplo usar directamente $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.

Q: ¿Basta con comprobar con la calculadora?

A: Es una forma estupenda de encontrar errores: si las dos formas dan valores distintos para el mismo ángulo, algo está mal. Pero valores iguales en uno o dos ángulos no demuestran la simplificación, eso lo hacen los pasos algebraicos.

Q: ¿Por qué algunos resultados simplificados llevan condiciones como "donde $\cos x \neq \sin x$"?

A: Solo se puede simplificar un factor donde no vale cero. En esos ángulos la expresión original no está definida y la simplificada quizá sí, así que en sentido estricto ambas coinciden en todas partes salvo en esos ángulos.