Factorisation avec termes positifs

Factorise : $x^2 + 7x + 12$

Identifie ce dont nous avons besoin: Trouve deux nombres qui s'ADDITIONNENT pour donner 7 et se MULTIPLIENT pour donner 12 = Somme = 7, Produit = 12

Liste les paires de facteurs de 12: $1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$ = Trois possibilités

Vérifie quelle paire donne 7: $1 + 12 = 13$ (non), $2 + 6 = 8$ (non), $3 + 4 = 7$ (oui !) = $m = 3$, $n = 4$

Écris la forme factorisée: $(x + 3)(x + 4)$ = $(x + 3)(x + 4)$

Vérifie en développant: $x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$ \checkmark = Correct !

Answer: $(x + 3)(x + 4)$

Factorisation avec terme central négatif

Factorise : $x^2 - 9x + 20$

Identifie somme et produit: Somme = $-9$, Produit = $20$ = Les deux facteurs doivent être négatifs (somme négative, produit positif)

Liste les paires de facteurs négatifs de 20: $(-1)(-20)$, $(-2)(-10)$, $(-4)(-5)$ = Trois possibilités

Vérifie quelle paire donne -9: $-1 + (-20) = -21$, $-2 + (-10) = -12$, $-4 + (-5) = -9$ (oui !) = $m = -4$, $n = -5$

Écris la forme factorisée: $(x - 4)(x - 5)$ = $(x - 4)(x - 5)$

Vérifie en développant: $x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20$ \checkmark = Correct !

Answer: $(x - 4)(x - 5)$

Factorisation avec constante négative

Factorise : $x^2 + 2x - 15$

Identifie somme et produit: Somme = $2$, Produit = $-15$ = Un facteur positif, un négatif (produit négatif)

Liste les paires de facteurs de 15: $1 \times 15$, $3 \times 5$ = Considère les deux signes

Trouve la combinaison qui donne 2: $5 + (-3) = 2$ (oui !) ou $-5 + 3 = -2$ (non) = $m = 5$, $n = -3$

Écris la forme factorisée: $(x + 5)(x - 3)$ = $(x + 5)(x - 3)$

Vérifie en développant: $x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$ \checkmark = Correct !

Answer: $(x + 5)(x - 3)$

Factorisation avec les deux termes négatifs

Factorise : $x^2 - 3x - 28$

Identifie somme et produit: Somme = $-3$, Produit = $-28$ = Signes différents (produit négatif), le plus grand est négatif (somme négative)

Liste les paires de facteurs de 28: $1 \times 28$, $2 \times 14$, $4 \times 7$ = Considère les deux signes

Trouve la combinaison qui donne -3: $4 + (-7) = -3$ (oui !) = $m = 4$, $n = -7$

Écris la forme factorisée: $(x + 4)(x - 7)$ = $(x + 4)(x - 7)$

Vérifie en développant: $x^2 - 7x + 4x - 28 = x^2 - 3x - 28$ \checkmark = Correct !

Answer: $(x + 4)(x - 7)$

Mistake: Confondre les exigences de somme et de produit

Why: Les élèves cherchent parfois des nombres qui multiplient à $b$ et additionnent à $c$, alors que c'est l'inverse.

Correct: Rappelle-toi : les nombres s'ADDITIONNENT pour donner le coefficient central ($b$) et se MULTIPLIENT pour donner la constante ($c$).

Mistake: Oublier de considérer les facteurs négatifs

Why: Quand $c$ est positif mais $b$ est négatif, les deux facteurs doivent être négatifs.

Correct: Utilise les règles de signes : produit positif signifie mêmes signes, produit négatif signifie signes différents.

Mistake: Écrire $(x + 3)(x + 4)$ comme $x^2 + 34$

Why: Cette erreur vient de l'addition des constantes au lieu du développement correct.

Correct: Toujours vérifier en développant : $(x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$

Mistake: Supposer que tous les trinômes peuvent être factorisés avec des entiers

Why: Certains trinômes sont premiers (ne peuvent pas être factorisés avec des entiers).

Correct: Si aucune paire d'entiers ne fonctionne, le trinôme est premier. Exemple : $x^2 + 5x + 3$ n'a pas de facteurs entiers.

Mouvement de projectile

Quand un objet est lancé vers le haut, sa hauteur suit un schéma quadratique. La factorisation aide à trouver quand il touche le sol.

La hauteur d'une balle est donnée par $h = -t^2 + 5t + 6$. Factoriser $-1(t^2 - 5t - 6) = -(t-6)(t+1)$ montre qu'elle atterrit à $t = 6$ secondes.

Conception de jardins

Les architectes paysagistes utilisent la factorisation pour déterminer les dimensions avec des contraintes de surface.

La surface d'un jardin est $x^2 + 11x + 24$ mètres carrés. Factoriser donne $(x + 3)(x + 8)$, révélant les dimensions possibles.

Q: Que faire si je ne trouve pas deux nombres qui fonctionnent ?

A: Le trinôme peut être premier (ne peut pas être factorisé avec des entiers). Par exemple, $x^2 + 5x + 3$ n'a pas de paires de facteurs entiers qui additionnent à 5 et multiplient à 3.

Q: L'ordre des binômes a-t-il de l'importance ?

A: Non ! $(x + 3)(x + 4)$ est identique à $(x + 4)(x + 3)$ grâce à la propriété commutative de la multiplication.

Q: Que faire si le coefficient directeur n'est pas 1 ?

A: Cela nécessite une méthode différente (méthode AC ou essai-erreur). Cette leçon se concentre uniquement sur les trinômes où $a = 1$.