Méthode AC de base

Factorise $2x^2 + 7x + 3$

Identifie a, b et c: $a = 2$, $b = 7$, $c = 3$ = Coefficients identifiés

Calcule le produit AC: $AC = 2 \times 3 = 6$ = $AC = 6$

Trouve deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 7: Diviseurs de 6 : $(1, 6)$, $(2, 3)$ $1 + 6 = 7$ ✓ = Nombres : $1$ et $6$

Réécris le terme du milieu: $2x^2 + 1x + 6x + 3$ = Divise $7x$ en $1x + 6x$

Regroupe et factorise: $(2x^2 + 1x) + (6x + 3)$ $= x(2x + 1) + 3(2x + 1)$ = Facteur commun : $(2x + 1)$

Mets en facteur le binôme commun: $(2x + 1)(x + 3)$ = Forme factorisée

Answer: $(2x + 1)(x + 3)$

Méthode AC avec constante négative

Factorise $3x^2 + 10x - 8$

Identifie a, b et c: $a = 3$, $b = 10$, $c = -8$ = Note : $c$ est négatif

Calcule le produit AC: $AC = 3 \times (-8) = -24$ = $AC = -24$ (négatif)

Trouve deux nombres dont le produit est -24 et la somme est 10: Signes opposés nécessaires (produit négatif) Diviseurs : $(-2, 12)$ : $-2 + 12 = 10$ ✓ = Nombres : $-2$ et $12$

Réécris le terme du milieu: $3x^2 - 2x + 12x - 8$ = Divise $10x$ en $-2x + 12x$

Regroupe et factorise: $(3x^2 - 2x) + (12x - 8)$ $= x(3x - 2) + 4(3x - 2)$ = Facteur commun : $(3x - 2)$

Mets en facteur le binôme commun: $(3x - 2)(x + 4)$ = Forme factorisée

Answer: $(3x - 2)(x + 4)$

Méthode AC avec tous négatifs

Factorise $6x^2 - 11x - 10$

Identifie a, b et c: $a = 6$, $b = -11$, $c = -10$ = $b$ et $c$ sont tous deux négatifs

Calcule le produit AC: $AC = 6 \times (-10) = -60$ = $AC = -60$

Trouve deux nombres dont le produit est -60 et la somme est -11: Signes opposés nécessaires, le plus grand en valeur absolue négatif Diviseurs : $(4, -15)$ : $4 + (-15) = -11$ ✓ = Nombres : $4$ et $-15$

Réécris le terme du milieu: $6x^2 + 4x - 15x - 10$ = Divise $-11x$ en $4x - 15x$

Regroupe et factorise: $(6x^2 + 4x) + (-15x - 10)$ $= 2x(3x + 2) - 5(3x + 2)$ = Facteur commun : $(3x + 2)$

Mets en facteur le binôme commun: $(3x + 2)(2x - 5)$ = Forme factorisée

Answer: $(3x + 2)(2x - 5)$

Coefficients plus grands

Factorise $4x^2 - 12x + 9$

Identifie a, b et c: $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$ = Tous positifs sauf $b$

Calcule le produit AC: $AC = 4 \times 9 = 36$ = $AC = 36$

Trouve deux nombres dont le produit est 36 et la somme est -12: Tous deux négatifs (produit positif, somme négative) $(-6) \times (-6) = 36$ ✓ $(-6) + (-6) = -12$ ✓ = Nombres : $-6$ et $-6$

Réécris le terme du milieu: $4x^2 - 6x - 6x + 9$ = Divise $-12x$ en $-6x - 6x$

Regroupe et factorise: $(4x^2 - 6x) + (-6x + 9)$ $= 2x(2x - 3) - 3(2x - 3)$ = Facteur commun : $(2x - 3)$

Reconnais le carré parfait: $(2x - 3)(2x - 3) = (2x - 3)^2$ = Trinôme carré parfait !

Answer: $(2x - 3)^2$

Mistake: Oublier de multiplier $a \times c$ et utiliser seulement $c$

Why: Quand $a \neq 1$, le produit AC est différent de $c$. Pour $2x^2 + 7x + 3$, AC = 6, pas 3.

Correct: Calcule toujours $AC = a \times c$ en premier. C'est le fondement de la méthode AC.

Mistake: Signes incorrects lors de la recherche des paires de facteurs

Why: Les signes des deux nombres dépendent de AC et $b$. Si AC est négatif, les nombres ont des signes opposés.

Correct: Si AC > 0 et b > 0 : tous deux positifs. Si AC > 0 et b < 0 : tous deux négatifs. Si AC < 0 : signes opposés (la plus grande valeur absolue correspond au signe de b).

Mistake: Regroupement incorrect des termes

Why: Après avoir divisé le terme du milieu, le regroupement doit créer un facteur binôme commun.

Correct: Vérifie toujours que les deux groupes donnent le même facteur binôme avant de continuer.

Mistake: Ne pas vérifier la réponse en développant

Why: Les erreurs de signe arrivent facilement. Vérifie toujours en multipliant les facteurs.

Correct: Utilise la méthode FOIL pour développer ta réponse et confirmer qu'elle est égale au trinôme original.

Mouvement des projectiles

Lors de l'analyse de la trajectoire d'une balle lancée vers le haut, l'équation de la hauteur a souvent un coefficient dominant basé sur la gravité.

La hauteur d'une balle est $h = -16t^2 + 48t + 64$. Factorise $-16(t^2 - 3t - 4) = -16(t-4)(t+1)$ pour trouver quand la balle touche le sol ($t = 4$ secondes).

Analyse des profits commerciaux

Les entreprises utilisent des fonctions quadratiques pour modéliser le profit en fonction de la quantité produite.

Le profit d'une entreprise est $P = -2x^2 + 14x - 24$ milliers d'euros, où $x$ est en centaines d'unités. La factorisation en $-2(x-3)(x-4)$ montre le seuil de rentabilité à 300 et 400 unités.

Q: Que faire si je ne trouve pas deux nombres qui fonctionnent ?

A: Si aucune paire d'entiers n'a un produit égal à AC et une somme égale à $b$, le trinôme peut être premier (non factorisable sur les entiers) ou nécessiter la formule quadratique pour trouver les racines.

Q: L'ordre du regroupement a-t-il de l'importance ?

A: Tu peux diviser le terme du milieu dans n'importe quel ordre (par ex. $-2x + 12x$ ou $12x - 2x$), tant que tu regroupes correctement pour obtenir le même facteur binôme.

Q: Comment savoir si je dois d'abord mettre un PGCD en facteur ?

A: Vérifie toujours si les trois coefficients ont un facteur commun. Mettre le PGCD en facteur d'abord rend le trinôme restant plus simple à factoriser.