Factorisation d'un PGCD numérique

Factorise : $8x + 12$

Trouve le PGCD des coefficients: Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8\nDiviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12\nPGCD = 4 = Le PGCD des nombres est $4$

Vérifie les variables communes: Premier terme : $8x$ a $x$\nDeuxième terme : $12$ n'a pas de $x$ = Pas de facteur variable commun

Le PGCD est juste le nombre: PGCD = $4$ = $4$

Divise chaque terme par le PGCD: $8x \div 4 = 2x$\n$12 \div 4 = 3$ = $(2x + 3)$

Écris la forme factorisée: $8x + 12 = 4(2x + 3)$ = $4(2x + 3)$

Answer: $4(2x + 3)$

Factorisation avec PGCD variable

Factorise : $6x^2 + 9x$

Trouve le PGCD des coefficients: Le PGCD de 6 et 9 est 3 = PGCD numérique = $3$

Trouve le PGCD des variables: $x^2$ et $x$\nLa plus petite puissance de $x$ est $x^1$ = PGCD variable = $x$

Combine pour le PGCD total: $3 \times x = 3x$ = PGCD = $3x$

Divise chaque terme par $3x$: $6x^2 \div 3x = 2x$\n$9x \div 3x = 3$ = $(2x + 3)$

Écris la forme factorisée: $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$ = $3x(2x + 3)$

Answer: $3x(2x + 3)$

Factorisation avec plusieurs variables

Factorise : $12x^3y^2 + 18x^2y^3 - 6xy$

Trouve le PGCD des coefficients: Le PGCD de 12, 18 et 6 est 6 = PGCD numérique = $6$

Trouve le PGCD des termes en $x$: $x^3$, $x^2$, $x^1$\nLa plus petite puissance est $x^1$ = $x$

Trouve le PGCD des termes en $y$: $y^2$, $y^3$, $y^1$\nLa plus petite puissance est $y^1$ = $y$

Combine pour le PGCD total: $6 \times x \times y = 6xy$ = PGCD = $6xy$

Divise chaque terme par $6xy$: $12x^3y^2 \div 6xy = 2x^2y$\n$18x^2y^3 \div 6xy = 3xy^2$\n$-6xy \div 6xy = -1$ = $(2x^2y + 3xy^2 - 1)$

Écris la forme factorisée: $12x^3y^2 + 18x^2y^3 - 6xy = 6xy(2x^2y + 3xy^2 - 1)$ = $6xy(2x^2y + 3xy^2 - 1)$

Answer: $6xy(2x^2y + 3xy^2 - 1)$

Factorisation d'un PGCD négatif

Factorise $-1$ de : $-x^2 + 5x - 6$

Identifie le terme dominant: Le premier terme est $-x^2$ (négatif) = Le coefficient dominant est négatif

Factorise $-1$: Divise chaque terme par $-1$ :\n$-x^2 \div (-1) = x^2$\n$5x \div (-1) = -5x$\n$-6 \div (-1) = 6$ = $(x^2 - 5x + 6)$

Écris la forme factorisée: $-x^2 + 5x - 6 = -1(x^2 - 5x + 6)$ = $-(x^2 - 5x + 6)$

Answer: $-(x^2 - 5x + 6)$

Mistake: Oublier d'inclure la variable dans le PGCD

Why: Les élèves trouvent souvent le PGCD des nombres seulement et oublient de vérifier les facteurs variables communs.

Correct: Vérifie TOUJOURS les nombres ET les variables. Pour $6x^2 + 9x$, le PGCD est $3x$, pas seulement $3$.

Mistake: Utiliser la plus haute puissance au lieu de la plus basse

Why: Pour les variables, les élèves prennent parfois l'exposant le plus élevé au lieu du plus bas.

Correct: Le PGCD utilise la puissance la PLUS BASSE. Pour $x^3$ et $x^2$, utilise $x^2$ (ce qui divise les deux).

Mistake: Ne pas diviser tous les termes

Why: Les élèves oublient parfois de diviser un des termes par le PGCD.

Correct: Vérifie en développant : $3x(2x + 3) = 6x^2 + 9x$ confirme que c'est correct.

Mistake: S'arrêter quand le PGCD est 1

Why: Si les termes n'ont pas de facteur commun, les élèves peuvent penser qu'ils ont fait une erreur.

Correct: Certains polynômes ont PGCD = 1. Exemple : $x^2 + 3x + 5$ ne peut pas être factorisé par PGCD.

Simplifier des formules d'aire

Les architectes et ingénieurs utilisent la factorisation pour simplifier les expressions d'aires et de volumes.

Si une pièce rectangulaire a une aire de $12x^2 + 18x$ mètres carrés, la factorisation donne $6x(2x + 3)$, montrant les dimensions.

Analyser des fonctions de profit

Les analystes financiers factorisent des expressions pour comprendre les relations de profit.

Si le profit est $P = 100x - 20x^2$, la factorisation donne $P = 20x(5 - x)$, montrant que le profit est nul quand $x = 0$ ou $x = 5$.

Q: Que faire s'il n'y a pas de facteur commun ?

A: Si le PGCD est 1, tu ne peux pas factoriser par PGCD. Passe à d'autres méthodes de factorisation comme le regroupement ou l'utilisation de motifs spéciaux.

Q: Dois-je factoriser un PGCD négatif ?

A: Parfois oui ! Si le terme dominant est négatif, factoriser $-1$ (ou un PGCD négatif) peut rendre l'expression restante plus facile à manipuler.

Q: Comment savoir si j'ai trouvé le bon PGCD ?

A: Développe ta réponse. Si tu obtiens l'expression originale, tu as factorisé correctement. Vérifie aussi que les termes entre parenthèses n'ont plus de facteur commun.