Introduction à la factorisation

Apprends ce qu'est la factorisation et comment décomposer des expressions en leurs facteurs.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La factorisation est le processus de décomposition d'un nombre ou d'une expression en parties plus petites (appelées facteurs) qui, multipliées ensemble, donnent l'original.
Pour les nombres :
12=2×6=3×4=2×2×312 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 2 \times 2 \times 3
Pour les expressions algébriques :
x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
La factorisation est comme la multiplication inversée. Au lieu de multiplier pour obtenir un produit, on part du produit pour trouver ce qui a été multiplié.

Essaie tout de suite

Lequel des nombres suivants est un facteur de 12 ?

Exemples résolus

Trouve toutes les paires de facteurs de 24.
1

Commence par 1

24=1×2424 = 1 \times 24 → Paire de facteurs : (1, 24)
2

Essaie 2

24÷2=1224 \div 2 = 12, donc 24=2×1224 = 2 \times 12 → Paire de facteurs : (2, 12)
3

Essaie 3

24÷3=824 \div 3 = 8, donc 24=3×824 = 3 \times 8 → Paire de facteurs : (3, 8)
4

Essaie 4

24÷4=624 \div 4 = 6, donc 24=4×624 = 4 \times 6 → Paire de facteurs : (4, 6)
5

Vérifie 5

24÷5=4,824 \div 5 = 4,8 (pas un nombre entier) → 5 n'est pas un facteur
6

Arrête à la racine carrée

24≈4,9\sqrt{24} \approx 4,9, et on a vérifié jusqu'à 4 → Toutes les paires trouvées

Erreurs courantes

Oublier de mettre le PGCD en facteur d'abord

Pourquoi c'est faux: Vérifie toujours s'il y a un PGCD avant d'essayer d'autres méthodes. Cela rend la factorisation restante beaucoup plus facile.

Correct: Pour 2x2+10x+122x^2 + 10x + 12, mets d'abord 2 en facteur : 2(x2+5x+6)=2(x+2)(x+3)2(x^2 + 5x + 6) = 2(x+2)(x+3)

Se tromper de signes dans les trinômes

Pourquoi c'est faux: Quand cc est négatif, les deux facteurs ont des signes opposés. Quand cc est positif, ils ont le même signe.

Correct: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) (les deux négatifs car la somme est négative, le produit positif)

Ne pas vérifier la réponse

Pourquoi c'est faux: Multiplie toujours tes facteurs pour vérifier. Cela prend 30 secondes et détecte les erreurs.

Correct: Après avoir factorisé, utilise FOIL ou la distribution pour vérifier : (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 ✓

Confondre facteurs et termes

Pourquoi c'est faux: Les facteurs se multiplient ; les termes s'additionnent ou se soustraient. Dans 2x+42x + 4, les termes sont 2x2x et 44, mais 22 est un facteur des deux.

Correct: Termes : parties séparées par + ou -. Facteurs : parties qui se multiplient.

Visuel interactif

Arbre de facteurs

Nombre:
Composé
Premier

Entre un nombre pour voir son arbre de facteurs et sa décomposition en facteurs premiers.

Modèle d'aire : factoriser un trinôme

Assemble x², les bandes x et les carrés unités en un rectangle : ses côtés sont les facteurs.

x2x^2
3x3x
4x4x
1212
xx
33
xx
44

Longueur × largeur = aire

x2+7x+12=(x+3)(x+4)x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Lequel des nombres suivants est un facteur de 12 ?

Pourquoi c'est important

La factorisation est l'une des compétences les plus importantes en algèbre :
  • Résoudre des équations : Pour résoudre x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, on factorise en (x+2)(x+3)=0(x+2)(x+3) = 0
  • Simplifier des fractions : Factoriser permet d'annuler des termes communs
  • Trouver des motifs : La décomposition en facteurs premiers aide pour le PGCD et le PPCM
  • Applications réelles : Décomposer des problèmes complexes en parties plus simples
Maîtriser la factorisation ouvre la porte aux mathématiques avancées, y compris le calcul différentiel !

Applications dans le monde réel

Aire et dimensions

Quand tu connais l'aire d'un rectangle et que tu dois trouver les dimensions possibles, tu factorisés.

Exemple:

Un jardin a une aire de x2+8x+15x^2 + 8x + 15 mètres carrés. Quelles sont les dimensions ? Factorise : (x+3)(x+5)(x+3)(x+5), donc les dimensions sont (x+3)(x+3) par (x+5)(x+5) mètres.

1Essaie par toi-même

Une piscine rectangulaire a une aire de x2+10x+24x^2 + 10x + 24 mètres carrés.

Quelles sont les dimensions de la piscine ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Factorise x2+10x+24x^2 + 10x + 24 :

Décomposer des problèmes complexes

En ingénierie et en sciences, la factorisation aide à simplifier des expressions complexes pour faciliter les calculs.

Exemple:

Une formule de physique peut se simplifier de 2t2+6t2t\frac{2t^2 + 6t}{2t} à 2t(t+3)2t=t+3\frac{2t(t + 3)}{2t} = t + 3 en factorisant.

2Essaie par toi-même

Simplifie l'expression 3x2+9x3x\frac{3x^2 + 9x}{3x}.

Quel est le résultat de la simplification ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

D'abord, factorise le numérateur :

Points clés

  • 1La factorisation décompose des nombres ou expressions en parties qui se multiplient
  • 2Cherche toujours d'abord le plus grand commun diviseur (PGCD)
  • 3Pour les trinômes x2+bx+cx^2 + bx + c, trouve deux nombres dont le produit est cc et la somme est bb
  • 4Les signes de bb et cc indiquent les signes des facteurs
  • 5Vérifie toujours ta réponse en multipliant les facteurs

Questions fréquentes

Une expression est complètement factorisée quand tu ne peux plus factoriser aucun des facteurs restants. Par exemple, (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) est complète, mais 2(x2+5x+6)2(x^2+5x+6) ne l'est pas car le trinôme peut encore être factorisé.
Une expression est complètement factorisée quand tu ne peux plus factoriser aucun des facteurs restants. Par exemple, (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) est complète, mais 2(x2+5x+6)2(x^2+5x+6) ne l'est pas car le trinôme peut encore être factorisé.
Certains trinômes ne peuvent pas être factorisés avec des entiers. Par exemple, x2+x+1x^2 + x + 1 n'a pas de facteurs entiers. On les appelle polynômes 'premiers' ou 'irréductibles'. Tu apprendras d'autres méthodes comme la formule quadratique pour ces cas.
Non ! Comme la multiplication est commutative, (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) est égal à (x+3)(x+2)(x+3)(x+2). Les deux réponses sont correctes.

Glossaire

Facteur
Un nombre ou une expression qui divise exactement un autre. Dans 12=3×412 = 3 \times 4, 3 et 4 sont tous deux des facteurs de 12.
Factorisation
Le processus de réécriture d'un nombre ou d'une expression comme produit de ses facteurs.
Plus grand commun diviseur (PGCD)
Le plus grand facteur partagé par deux ou plusieurs nombres ou termes.
Trinôme
Un polynôme a exactement trois termes, comme x2+5x+6x^2 + 5x + 6.
Polynôme premier
Un polynôme qui ne peut pas être factorisé en polynômes à coefficients entiers.
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Factoriser par le PGCD

Intermédiaire25 min

Factorisation par regroupement

Intermédiaire25 min

Factorisation de trinômes (a=1)

Intermédiaire25 min

Factorisation de trinômes (Général)

Avancé25 min