Carré parfait basique (somme)

Factorise : $x^2 + 6x + 9$

Vérifie si le premier terme est un carré parfait: $x^2 = (x)^2$ ✓ = $a = x$

Vérifie si le dernier terme est un carré parfait: $9 = (3)^2$ ✓ = $b = 3$

Vérifie le terme du milieu: $2ab = 2(x)(3) = 6x$ ✓ = Correspond au terme du milieu !

Applique la formule: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ = $(x + 3)^2$

Answer: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Carré parfait avec soustraction

Factorise : $x^2 - 10x + 25$

Vérifie si le premier terme est un carré parfait: $x^2 = (x)^2$ ✓ = $a = x$

Vérifie si le dernier terme est un carré parfait: $25 = (5)^2$ ✓ = $b = 5$

Vérifie le terme du milieu: $2ab = 2(x)(5) = 10x$. Le terme du milieu est $-10x$, donc nous utilisons la formule de soustraction. = Utilise $(a - b)^2$

Applique la formule: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ = $(x - 5)^2$

Answer: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

Coefficient sur le terme au carré

Factorise : $4x^2 + 12x + 9$

Vérifie si le premier terme est un carré parfait: $4x^2 = (2x)^2$ ✓ = $a = 2x$

Vérifie si le dernier terme est un carré parfait: $9 = (3)^2$ ✓ = $b = 3$

Vérifie le terme du milieu: $2ab = 2(2x)(3) = 12x$ ✓ = Ça correspond !

Applique la formule: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ = $(2x + 3)^2$

Answer: $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$

Coefficients plus grands

Factorise : $9x^2 - 30x + 25$

Vérifie si le premier terme est un carré parfait: $9x^2 = (3x)^2$ ✓ = $a = 3x$

Vérifie si le dernier terme est un carré parfait: $25 = (5)^2$ ✓ = $b = 5$

Vérifie le terme du milieu: $2ab = 2(3x)(5) = 30x$. Le terme du milieu est $-30x$. = Utilise $(a - b)^2$

Applique la formule: $(3x)^2 - 2(3x)(5) + (5)^2 = (3x - 5)^2$ = $(3x - 5)^2$

Answer: $9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2$

Pas un trinôme carré parfait

Est-ce que $x^2 + 5x + 4$ est un trinôme carré parfait ?

Vérifie si le premier terme est un carré parfait: $x^2 = (x)^2$ ✓ = $a = x$

Vérifie si le dernier terme est un carré parfait: $4 = (2)^2$ ✓ = $b = 2$

Vérifie le terme du milieu: $2ab = 2(x)(2) = 4x$, mais le terme du milieu est $5x$ = $5x \neq 4x$ ✗

Conclusion: Le terme du milieu ne correspond pas à la formule = PAS un carré parfait

Answer: Non, $x^2 + 5x + 4$ n'est pas un trinôme carré parfait. Il se factorise plutôt en $(x + 1)(x + 4)$.

Mistake: Oublier de vérifier le terme du milieu

Why: Ce n'est pas parce que le premier et le dernier terme sont des carrés parfaits que le trinôme est un carré parfait.

Correct: Toujours vérifier : terme du milieu = $2 \times \sqrt{\text{premier}} \times \sqrt{\text{dernier}}$

Mistake: Utiliser le mauvais signe dans le binôme

Why: Le signe dans le binôme correspond au signe du terme du milieu.

Correct: Terme du milieu négatif → $(a - b)^2$. Terme du milieu positif → $(a + b)^2$

Mistake: Écrire $(x + 3)(x + 3)$ au lieu de $(x + 3)^2$

Why: Bien que mathématiquement équivalent, la forme au carré est la façon standard d'exprimer les trinômes carrés parfaits.

Correct: Toujours écrire la réponse finale sous la forme $(a + b)^2$ ou $(a - b)^2$

Mistake: Confondre avec la différence de carrés

Why: La différence de carrés ($a^2 - b^2$) n'a PAS de terme du milieu. Les trinômes carrés parfaits ont TOUJOURS un terme du milieu.

Correct: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ mais $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Architecture : Agrandissement d'une pièce carrée

Les architectes utilisent les trinômes carrés parfaits pour calculer les aires d'espaces carrés agrandis.

Une pièce carrée de côté $x$ mètres est agrandie de 4 mètres de chaque côté. La nouvelle aire est $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ mètres carrés.

Physique : Distance de freinage

La formule de l'énergie cinétique implique des termes au carré, et compléter le carré aide à résoudre des problèmes de physique.

Si la distance de freinage suit $d = v^2 - 10v + 25$ pour la vitesse $v$, cela se factorise en $d = (v - 5)^2$, montrant la distance minimale à $v = 5$.

Q: Comment savoir si un trinôme est un carré parfait ?

A: Vérifie trois choses : (1) le premier terme est un carré parfait, (2) le dernier terme est un carré parfait, (3) le terme du milieu égale deux fois le produit des racines carrées. Si les trois conditions sont vraies, c'est un trinôme carré parfait.

Q: Que faire si le terme du milieu est négatif ?

A: Utilise la formule $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Le terme du milieu négatif signifie une soustraction dans le binôme.

Q: Le coefficient de $x^2$ peut-il être différent de 1 ?

A: Oui ! Par exemple, $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$ parce que $4x^2 = (2x)^2$ est toujours un carré parfait.