Trinôme simple

Résous : $x^2 + 7x + 12 = 0$

Identifie la forme de l'équation: Déjà sous forme standard : $x^2 + 7x + 12 = 0$ = $a = 1$, $b = 7$, $c = 12$

Factorise le trinôme: Trouve deux nombres qui se multiplient pour donner 12 et s'additionnent pour donner 7 : $3 \times 4 = 12$ et $3 + 4 = 7$ = $(x + 3)(x + 4) = 0$

Applique la propriété du produit nul: Si $(x + 3)(x + 4) = 0$, alors $x + 3 = 0$ ou $x + 4 = 0$ = Deux équations à résoudre

Résous chaque équation: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ et $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ = $x = -3$ ou $x = -4$

Answer: $x = -3$ ou $x = -4$

Différence de carrés

Résous : $x^2 - 25 = 0$

Reconnais le motif: $x^2 - 25 = x^2 - 5^2$ est une différence de carrés = Utilise la formule $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Factorise avec la formule: $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$ = $(x + 5)(x - 5) = 0$

Applique la propriété du produit nul: $x + 5 = 0$ ou $x - 5 = 0$ = Deux équations linéaires

Résous chaque équation: $x = -5$ ou $x = 5$ = $x = \pm 5$

Answer: $x = 5$ ou $x = -5$

Équation pas sous forme standard

Résous : $x^2 = 3x + 10$

Réécris sous forme standard: $x^2 - 3x - 10 = 0$ (soustrais $3x$ et $10$ des deux côtés) = Forme standard obtenue

Factorise le trinôme: Trouve des nombres qui se multiplient pour donner $-10$ et s'additionnent pour donner $-3$ : $(-5) \times 2 = -10$ et $(-5) + 2 = -3$ = $(x - 5)(x + 2) = 0$

Applique la propriété du produit nul: $x - 5 = 0$ ou $x + 2 = 0$ = Deux équations

Résous et vérifie: $x = 5$ ou $x = -2$. Vérification : $5^2 = 25$ et $3(5) + 10 = 25$ ✓ = Les deux solutions vérifiées

Answer: $x = 5$ ou $x = -2$

Coefficient principal différent de 1

Résous : $2x^2 + 5x - 3 = 0$

Identifie les coefficients: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$ = Produit $ac = 2 \times (-3) = -6$

Factorise par regroupement: Trouve des nombres qui se multiplient pour donner $-6$ et s'additionnent pour donner $5$ : $6 \times (-1) = -6$ et $6 + (-1) = 5$ = Divise le terme du milieu : $2x^2 + 6x - x - 3$

Regroupe et factorise: $2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$ = $(2x - 1)(x + 3) = 0$

Résous chaque facteur: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ et $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ = $x = \frac{1}{2}$ ou $x = -3$

Answer: $x = \frac{1}{2}$ ou $x = -3$

D'abord le PGCD

Résous : $3x^2 - 12x = 0$

Factorise le PGCD: $3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ = $3x(x - 4) = 0$

Applique la propriété du produit nul: $3x = 0$ ou $x - 4 = 0$ = Deux équations

Résous la première équation: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ = $x = 0$

Résous la seconde équation: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ = $x = 4$

Answer: $x = 0$ ou $x = 4$

Mistake: Diviser les deux côtés par $x$ (perd la solution $x = 0$)

Why: Quand tu divises par $x$, tu supposes que $x \neq 0$. Mais $x = 0$ pourrait être une solution valide !

Correct: Factorise $x$ à la place : $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0$, donne $x = 0$ ou $x = 5$

Mistake: Oublier de mettre l'équation égale à zéro d'abord

Why: La propriété du produit nul ne fonctionne que quand le produit est égal à zéro, pas à un autre nombre.

Correct: Réécris toujours comme $\text{expression} = 0$ avant de factoriser. Par exemple : $x^2 = 9$ devient $x^2 - 9 = 0$

Mistake: Écrire une seule solution quand il y en a deux

Why: Les équations quadratiques peuvent avoir deux solutions distinctes, et les deux sont valides.

Correct: Vérifie toujours les deux facteurs. $(x - 2)(x - 3) = 0$ donne DEUX solutions : $x = 2$ ET $x = 3$

Mistake: Erreurs de signe lors de la factorisation

Why: Les signes dans la forme factorisée déterminent les signes des solutions.

Correct: $(x + 3) = 0$ donne $x = -3$ (signe opposé). $(x - 3) = 0$ donne $x = 3$ (même signe)

Mouvement projectile

Quand un objet est lancé vers le haut, sa hauteur suit une équation quadratique. Trouver quand il touche le sol signifie résoudre quand la hauteur est nulle.

La hauteur d'une balle est $h = -t^2 + 4t + 5$ mètres après $t$ secondes. Quand touche-t-elle le sol ? Résous $-t^2 + 4t + 5 = 0$, ou de manière équivalente $t^2 - 4t - 5 = 0$. Factorisation : $(t - 5)(t + 1) = 0$, donc $t = 5$ secondes (on ignore $t = -1$ car le temps ne peut pas être négatif).

Problèmes d'aire

Trouver des dimensions quand on connaît l'aire mène souvent à des équations quadratiques.

Un jardin rectangulaire a une longueur de 3 mètres de plus que sa largeur. Si l'aire est de 40 mètres carrés, trouve les dimensions. Soit largeur = $x$. Alors : $x(x + 3) = 40$, donc $x^2 + 3x - 40 = 0$. Factorisation : $(x + 8)(x - 5) = 0$, donne $x = 5$ mètres (largeur). Longueur = 8 mètres.

Q: Que faire si l'équation ne se factorise pas facilement ?

A: Toutes les équations quadratiques ne peuvent pas être factorisées avec des entiers. Dans ces cas, utilise la formule quadratique : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. La factorisation fonctionne mieux quand les solutions sont des nombres rationnels.

Q: Une équation quadratique peut-elle avoir une seule solution ?

A: Oui ! Cela arrive quand le trinôme est un carré parfait. Par exemple, $x^2 - 6x + 9 = 0$ se factorise en $(x - 3)^2 = 0$, donnant seulement $x = 3$ (une racine double).

Q: Pourquoi égalisons-nous les facteurs à zéro ?

A: Zéro est spécial : c'est le seul nombre où, si un produit lui est égal, au moins un facteur doit lui être égal. Si $ab = 6$, il y a des possibilités infinies. Mais si $ab = 0$, soit $a = 0$, soit $b = 0$.