Addition et multiplication

Résous : $3x + 7 > 22$

Identifier les opérations sur x: $x$ est multiplié par 3, puis 7 est ajouté = Opérations : ×3, puis +7

Annuler d'abord l'addition: Soustraire 7 des deux côtés : $3x + 7 - 7 > 22 - 7$ = $3x > 15$

Annuler la multiplication: Diviser les deux côtés par 3 : $\frac{3x}{3} > \frac{15}{3}$ = $x > 5$

Vérifier avec une valeur: Essaie $x = 6$ : $3(6) + 7 = 25$, et $25 > 22$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $x > 5$. Tout nombre supérieur à 5 est une solution.

Soustraction et division

Résous : $\frac{x}{4} - 3 \leq 2$

Identifier les opérations: $x$ est divisé par 4, puis 3 est soustrait = Opérations : ÷4, puis −3

Annuler d'abord la soustraction: Ajouter 3 aux deux côtés : $\frac{x}{4} - 3 + 3 \leq 2 + 3$ = $\frac{x}{4} \leq 5$

Annuler la division: Multiplier les deux côtés par 4 : $\frac{x}{4} \times 4 \leq 5 \times 4$ = $x \leq 20$

Vérifier la valeur limite: Essaie $x = 20$ : $\frac{20}{4} - 3 = 2$, et $2 \leq 2$ ✓ = Limite incluse

Answer: $x \leq 20$. La solution inclut 20 et tous les nombres plus petits.

Coefficient négatif (INVERSION requise !)

Résous : $-2x + 8 < 14$

Identifier les opérations: $x$ est multiplié par $-2$, puis 8 est ajouté = Opérations : ×(−2), puis +8

Annuler d'abord l'addition: Soustraire 8 des deux côtés : $-2x + 8 - 8 < 14 - 8$ = $-2x < 6$

Diviser par NÉGATIF: Diviser les deux côtés par $-2$ : $\frac{-2x}{-2}$ ? $\frac{6}{-2}$ = INVERSION requise !

Appliquer la règle d'inversion: $<$ devient $>$ en divisant par un négatif = $x > -3$

Vérifier l'inversion: Essaie $x = 0$ : $-2(0) + 8 = 8$, et $8 < 14$ ✓ = Inversion confirmée !

Answer: $x > -3$. Parce que nous avons divisé par un nombre négatif, nous avons inversé le signe !

Terme constant en premier

Résous : $5 - 4x \geq 17$

Réécrire sous forme standard: Note : la constante (5) vient en premier, puis $-4x$ = $5 - 4x \geq 17$

Isoler le terme avec la variable: Soustraire 5 des deux côtés : $-4x \geq 12$ = $-4x \geq 12$

Diviser par le coefficient NÉGATIF: Diviser par $-4$ et INVERSER : $x \leq \frac{12}{-4}$ = $x \leq -3$

Vérifier la solution: Essaie $x = -4$ : $5 - 4(-4) = 5 + 16 = 21$, et $21 \geq 17$ ✓ = Vérifié !

Answer: $x \leq -3$. Nous avons inversé $\geq$ en $\leq$ parce que nous avons divisé par $-4$.

Fraction avec deux étapes

Résous : $\frac{2x - 6}{3} > 4$

Éliminer le dénominateur: Multiplier les deux côtés par 3 : $2x - 6 > 12$ = Pas d'inversion (3 est positif)

Annuler la soustraction: Ajouter 6 aux deux côtés : $2x > 18$ = $2x > 18$

Annuler la multiplication: Diviser par 2 : $x > 9$ = $x > 9$

Vérifier: Essaie $x = 10$ : $\frac{2(10) - 6}{3} = \frac{14}{3} \approx 4,67$, et $4,67 > 4$ ✓ = Vérifié !

Answer: $x > 9$. En éliminant les fractions, multiplie tous les termes par le dénominateur.

Variable à droite

Résous : $10 < 3 - 7x$

Stratégie: On peut résoudre tel quel ou réécrire avec la variable à gauche = Résolution telle quelle

Isoler le terme avec x: Soustraire 3 des deux côtés : $7 < -7x$ = $7 < -7x$

Diviser par NÉGATIF: Diviser par $-7$ et INVERSER : $\frac{7}{-7} > x$ = $-1 > x$

Réécrire avec x à gauche: $-1 > x$ est équivalent à $x < -1$ = $x < -1$

Answer: $x < -1$. Tu peux résoudre avec la variable de chaque côté, sois juste prudent avec l'inversion !

Mistake: Annuler les opérations dans le mauvais ordre

Why: Les élèves essaient de diviser d'abord au lieu de traiter l'addition/soustraction en premier.

Correct: Annule toujours l'addition/soustraction AVANT la multiplication/division. Pense à PEMDAS à l'envers !

Mistake: Oublier d'inverser en divisant par un négatif

Why: Après plusieurs étapes, les élèves perdent le fil de savoir s'ils divisent par un positif ou un négatif.

Correct: Entoure le coefficient ! S'il est négatif et que tu divises, écris un grand rappel INVERSER.

Mistake: Appliquer les opérations à un seul côté

Why: Avec deux étapes, les élèves oublient parfois d'appliquer la deuxième opération aux deux côtés.

Correct: Ce que tu fais au côté gauche, tu DOIS le faire au côté droit. Vérifie les deux côtés à chaque étape.

Mistake: Mal distribuer avec les signes négatifs

Why: Dans des problèmes comme $5 - 4x \geq 17$, les élèves gèrent mal le coefficient négatif.

Correct: Suis attentivement les signes. $5 - 4x$ signifie $+5$ et $-4x$. Le coefficient de $x$ est $-4$.

Budget forfait téléphonique

Les forfaits mobiles ont souvent un frais mensuel fixe plus des charges pour les données ou minutes supplémentaires.

Un forfait coûte 25 euros par mois plus 3 euros par Go de données supplémentaires. Si tu peux dépenser au maximum 40 euros : $25 + 3g \leq 40$, donc $g \leq 5$ Go.

Économiser pour un achat

Quand tu veux acheter quelque chose mais dois aussi garder un solde minimum.

Tu as 180 euros d'économies. Après des dépenses hebdomadaires de 12 euros, tu veux qu'il te reste au moins 60 euros. Combien de semaines avant de devoir arrêter ? $180 - 12s \geq 60$.

Exigences de température

Les processus industriels nécessitent souvent des températures dans des plages spécifiques.

Un produit chimique doit être chauffé depuis 20°C, augmentant de 5°C par minute, mais doit rester sous 80°C. Combien de temps peut-on chauffer ? $20 + 5t < 80$, donc $t < 12$ minutes.

Q: Quelle est la différence entre les inéquations à une étape et à deux étapes ?

A: Les inéquations à une étape nécessitent une seule opération (comme $x + 5 > 8$). Les inéquations à deux étapes nécessitent deux opérations en séquence (comme $2x + 5 > 11$).

Q: Est-ce que j'inverse le signe à chaque étape ?

A: Non ! Inverse seulement quand tu MULTIPLIES ou DIVISES par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire des négatifs NE nécessite PAS d'inversion.

Q: Et si la variable a un coefficient négatif comme $-3x$ ?

A: Quand tu isoles $x$ en divisant les deux côtés par $-3$, tu DOIS inverser le signe d'inégalité parce que $-3$ est négatif.

Q: Puis-je ajouter ou soustraire d'abord si la multiplication semble plus facile ?

A: Techniquement oui, mais ça rend généralement les choses plus difficiles. Suivre l'ordre standard (annuler +/− d'abord, puis ×/÷) est plus fiable.