Écrire une équation à partir d'un point et d'une pente

Écris l'équation d'une droite de pente $m = 3$ passant par le point $(2, 5)$.

Identifier les valeurs: Pente $m = 3$, Point $(x_1, y_1) = (2, 5)$ = $m = 3$, $x_1 = 2$, $y_1 = 5$

Écrire la forme point-pente: $y - y_1 = m(x - x_1)$ = Modèle prêt

Substituer les valeurs: $y - 5 = 3(x - 2)$ = $y - 5 = 3(x - 2)$

Answer: $y - 5 = 3(x - 2)$

Conversion en forme pente-ordonnée

Convertis $y - 5 = 3(x - 2)$ en forme pente-ordonnée.

Développer le côté droit: $y - 5 = 3x - 6$ = $y - 5 = 3x - 6$

Ajouter 5 des deux côtés: $y = 3x - 6 + 5$ = $y = 3x - 1$

Vérifier la forme: Pente $m = 3$, ordonnée à l'origine $b = -1$ = $y = 3x - 1$

Answer: $y = 3x - 1$

Trouver une équation à partir de deux points

Trouve l'équation de la droite passant par $(1, 4)$ et $(3, 10)$.

Calculer la pente: $m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ = $m = 3$

Choisir un point: Utilisons $(1, 4)$ comme $(x_1, y_1)$ = $x_1 = 1$, $y_1 = 4$

Écrire la forme point-pente: $y - 4 = 3(x - 1)$ = $y - 4 = 3(x - 1)$

Vérifier avec le second point: $10 - 4 = 3(3 - 1)$ donne $6 = 6$ \checkmark = Équation vérifiée !

Answer: $y - 4 = 3(x - 1)$ ou de manière équivalente $y = 3x + 1$

Écrire l'équation d'une droite parallèle

Écris l'équation d'une droite parallèle à $y = 2x + 5$ passant par $(-1, 3)$.

Identifier la pente: Les droites parallèles ont la même pente. De $y = 2x + 5$ : $m = 2$ = $m = 2$

Utiliser le point donné: Point : $(-1, 3)$, donc $x_1 = -1$, $y_1 = 3$ = Point identifié

Écrire la forme point-pente: $y - 3 = 2(x - (-1))$ = $y - 3 = 2(x + 1)$

Simplifier si nécessaire: $y - 3 = 2x + 2$, donc $y = 2x + 5$ = Attends - pareil que l'original ?

Vérifier le calcul: $y = 2x + 2 + 3 = 2x + 5$... mais ça passe par $(-1, 3)$ ! = $y - 3 = 2(x + 1)$ est correct

Answer: $y - 3 = 2(x + 1)$ ou $y = 2x + 5$

Écrire l'équation d'une droite perpendiculaire

Écris l'équation d'une droite perpendiculaire à $y = \frac{1}{2}x - 3$ passant par $(4, 1)$.

Trouver la pente initiale: De $y = \frac{1}{2}x - 3$, la pente est $m = \frac{1}{2}$ = $m_{initial} = \frac{1}{2}$

Trouver la pente perpendiculaire: Pente perpendiculaire = inverse opposé : $m_{\perp} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$ = $m_{\perp} = -2$

Utiliser la forme point-pente: $y - 1 = -2(x - 4)$ = $y - 1 = -2(x - 4)$

Convertir en forme pente-ordonnée: $y - 1 = -2x + 8$, donc $y = -2x + 9$ = $y = -2x + 9$

Answer: $y - 1 = -2(x - 4)$ ou $y = -2x + 9$

Mistake: Oublier de changer le signe quand $x_1$ ou $y_1$ est négatif

Why: Dans $y - y_1 = m(x - x_1)$, si $y_1 = -3$, alors $y - (-3) = y + 3$, pas $y - 3$.

Correct: Toujours écrire d'abord la soustraction, puis simplifier : $y - (-3) = y + 3$

Mistake: Utiliser le mauvais point pour $(x_1, y_1)$

Why: Quand deux points sont donnés, les élèves mélangent parfois les coordonnées de différents points.

Correct: Choisis UN point complètement. Les deux coordonnées doivent venir du même point.

Mistake: Développer incorrectement

Why: Dans $y - 5 = 3(x - 2)$, les élèves oublient parfois de distribuer aux deux termes.

Correct: $3(x - 2) = 3x - 6$, pas $3x - 2$

Mistake: Confondre les pentes parallèles et perpendiculaires

Why: Les droites parallèles ont la MÊME pente. Les pentes perpendiculaires sont des INVERSES OPPOSÉS.

Correct: Parallèle : même $m$. Perpendiculaire : si $m = \frac{2}{3}$, alors $m_{\perp} = -\frac{3}{2}$

Projection de croissance d'entreprise

Les entreprises utilisent des modèles linéaires pour projeter leur croissance quand elles connaissent leur position actuelle et leur taux de variation.

Une startup a 500 utilisateurs aujourd'hui et gagne 50 nouveaux utilisateurs par jour. L'équation $y - 500 = 50(x - 0)$ modélise leur nombre d'utilisateurs, où $x$ est le nombre de jours depuis aujourd'hui.

Variation de température

Les scientifiques modélisent les variations de température avec des équations linéaires quand le taux est constant.

Si la température à 14h était de 18°C et baisse de 3°C par heure, l'équation $T - 18 = -3(t - 2)$ modélise la température, où $t$ est l'heure (de l'après-midi).

Q: Quand dois-je utiliser la forme point-pente plutôt que la forme pente-ordonnée ?

A: Utilise la forme point-pente quand tu connais un point et la pente mais pas l'ordonnée à l'origine. C'est plus rapide que de trouver $b$ d'abord.

Q: Est-ce important quel point je choisis quand deux points sont donnés ?

A: Non ! Utiliser l'un ou l'autre point te donnera une équation équivalente. La droite finale est la même - seule la forme paraît différente jusqu'à ce que tu simplifies.

Q: Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

A: Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes. En forme point-pente, les valeurs de $m$ doivent être égales.