Calculer la pente à partir de deux points

Trouve la pente de la droite passant par $(2, 3)$ et $(5, 9)$.

Identifier les coordonnées: $(x_1, y_1) = (2, 3)$ et $(x_2, y_2) = (5, 9)$ = Points identifiés

Calculer la variation verticale (variation en y): $y_2 - y_1 = 9 - 3 = 6$ = Variation verticale = 6

Calculer la variation horizontale (variation en x): $x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3$ = Variation horizontale = 3

Calculer la pente: $m = \frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}} = \frac{6}{3} = 2$ = $m = 2$

Answer: La pente est $m = 2$. Cela signifie que la droite monte de 2 unités pour chaque unité vers la droite.

Pente négative

Trouve la pente de la droite passant par $(1, 8)$ et $(4, 2)$.

Identifier les coordonnées: $(x_1, y_1) = (1, 8)$ et $(x_2, y_2) = (4, 2)$ = Points identifiés

Calculer la variation verticale: $y_2 - y_1 = 2 - 8 = -6$ = Variation verticale = $-6$

Calculer la variation horizontale: $x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3$ = Variation horizontale = 3

Calculer la pente: $m = \frac{-6}{3} = -2$ = $m = -2$

Answer: La pente est $m = -2$. Le signe négatif indique que la droite descend de gauche à droite.

Pente à partir d'un graphique

Une droite passe par $(0, 1)$ et $(3, 7)$. Quelle est sa pente ?

Compter la variation verticale: De $y = 1$ à $y = 7$ : variation verticale = $7 - 1 = 6$ = Variation verticale = 6

Compter la variation horizontale: De $x = 0$ à $x = 3$ : variation horizontale = $3 - 0 = 3$ = Variation horizontale = 3

Calculer la pente: $m = \frac{6}{3} = 2$ = $m = 2$

Answer: La pente est $m = 2$. Sur le graphique, on monterait de 2 carreaux et on irait de 1 carreau vers la droite pour suivre la droite.

Pente nulle et pente non définie

Trouve la pente des droites passant par : (a) $(2, 5)$ et $(7, 5)$, (b) $(3, 1)$ et $(3, 6)$.

Pour (a) : Calculer variation verticale et horizontale: Variation verticale = $5 - 5 = 0$, variation horizontale = $7 - 2 = 5$ = Variation verticale = 0, variation horizontale = 5

Calculer la pente pour (a): $m = \frac{0}{5} = 0$ = Droite horizontale : $m = 0$

Pour (b) : Calculer variation verticale et horizontale: Variation verticale = $6 - 1 = 5$, variation horizontale = $3 - 3 = 0$ = Variation verticale = 5, variation horizontale = 0

Calculer la pente pour (b): $m = \frac{5}{0}$ = non définie (division par zéro !) = Droite verticale : non définie

Answer: (a) $m = 0$ (droite horizontale), (b) La pente est non définie (droite verticale). Retiens : horizontale = pente nulle, verticale = pas de pente.

Mistake: Inverser variation verticale et horizontale dans la formule

Why: Les élèves calculent parfois $\frac{\text{variation horizontale}}{\text{variation verticale}}$ au lieu de $\frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}$.

Correct: Retiens : pente = $\frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}$ = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Les valeurs de y vont au numérateur !

Mistake: Soustraire les coordonnées dans des ordres différents

Why: Utiliser $(y_2 - y_1)$ mais $(x_1 - x_2)$ donne le mauvais signe.

Correct: Soustrais toujours dans le même ordre : si tu fais $y_2 - y_1$, tu dois aussi faire $x_2 - x_1$.

Mistake: Dire que les droites verticales ont une pente = 0

Why: Confusion entre « pas de pente » et « pente nulle ».

Correct: Les droites horizontales ont une pente = 0. Les droites verticales ont une pente non définie (on ne peut pas diviser par zéro).

Mistake: Oublier le signe négatif

Why: Ne pas remarquer quand la droite descend.

Correct: Si la droite descend de gauche à droite, la pente est négative. Vérifie toujours le signe !

Pentes routières et autoroutes

Les panneaux routiers indiquent la pente en pourcentage, c'est-à-dire la variation verticale pour 100 unités de variation horizontale.

Une pente de 7% signifie que la route monte de 7 mètres pour 100 mètres de distance horizontale : pente = $\frac{7}{100} = 0{,}07$

Consommation de données mobiles

Ton forfait téléphonique facture un prix constant par gigaoctet. La pente du graphique de ta facture est le coût par Go.

Si ta facture passe de 20€ à 35€ quand tu utilises 3 Go de plus, la pente est $\frac{35-20}{3} = 5$€ par Go.

Remplir une piscine

Quand on remplit une piscine à débit constant, la pente du graphique du niveau d'eau indique les centimètres par minute.

Si le niveau d'eau passe de 50 cm à 90 cm en 20 minutes, la pente est $\frac{40}{20} = 2$ cm par minute.

Q: Est-ce important quel point j'appelle $(x_1, y_1)$ ?

A: Non ! Tu peux choisir n'importe quel point comme point 1. Sois juste cohérent : soustrais dans le même ordre pour x et pour y.

Q: Et si j'obtiens une fraction pour la pente ?

A: C'est parfaitement normal ! Une pente de $\frac{2}{3}$ signifie « monter de 2, avancer de 3 ». Tu peux la laisser en fraction ou la convertir en décimal (environ 0,67).

Q: Une droite plus pentue est-elle toujours meilleure ?

A: Ça dépend du contexte ! Une colline plus pentue est plus difficile à gravir. Un taux d'épargne plus pentu signifie que tu économises plus vite. Interprète la pente selon ce que représente le graphique.