Équation rationnelle simple

Résoudre : $\frac{5}{x} = \frac{15}{6}$

Simplifier le côté droit si possible: $\frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ = $\frac{5}{x} = \frac{5}{2}$

Multiplier en croix: $5 \cdot 2 = 5 \cdot x$ = $10 = 5x$

Résoudre pour x: $x = \frac{10}{5}$ = $x = 2$

Vérifier : $x = 2$ annule-t-il un dénominateur ?: Dénominateurs : $x = 2$ et $6$. Aucun n'est nul quand $x = 2$. = Solution valide

Answer: $x = 2$

Utiliser la méthode du PPCM

Résoudre : $\frac{3}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{x}$

Identifier tous les dénominateurs: Dénominateurs : $x$, $2$, $x$ = PPCM = $2x$

Multiplier chaque terme par le PPCM: $2x \cdot \frac{3}{x} + 2x \cdot \frac{1}{2} = 2x \cdot \frac{5}{x}$ = $6 + x = 10$

Résoudre l'équation résultante: $x = 10 - 6$ = $x = 4$

Vérifier les solutions étrangères: Quand $x = 4$ : les dénominateurs sont $4$ et $2$. Aucun n'est nul. = Solution valide

Answer: $x = 4$

Équation avec variable dans plusieurs dénominateurs

Résoudre : $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{(x-3)(x+2)}$

Trouver le PPCM: Dénominateurs : $(x-3)$, $(x+2)$, $(x-3)(x+2)$ = PPCM = $(x-3)(x+2)$

Multiplier chaque terme par le PPCM: $(x-3)(x+2) \cdot \frac{2}{x-3} - (x-3)(x+2) \cdot \frac{1}{x+2} = (x-3)(x+2) \cdot \frac{5}{(x-3)(x+2)}$ = $2(x+2) - 1(x-3) = 5$

Développer et simplifier: $2x + 4 - x + 3 = 5$ $x + 7 = 5$ = $x = -2$

Vérifier les solutions étrangères: Quand $x = -2$ : $(x+2) = 0$. Cela annule le dénominateur ! = ÉTRANGÈRE - rejeter cette solution

Answer: Aucune solution (le seul candidat $x = -2$ est une solution étrangère)

Résultat quadratique

Résoudre : $\frac{x}{x-2} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{(x-2)(x+1)}$

Trouver le PPCM: Dénominateurs : $(x-2)$, $(x+1)$, $(x-2)(x+1)$ = PPCM = $(x-2)(x+1)$

Multiplier chaque terme par le PPCM: $x(x+1) + 1(x-2) = 3$ = $x^2 + x + x - 2 = 3$

Mettre sous forme standard: $x^2 + 2x - 2 = 3$ $x^2 + 2x - 5 = 0$ = Équation quadratique

Utiliser la formule quadratique: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2}$ = $x = -1 \pm \sqrt{6}$

Vérifier les deux solutions: $x = -1 + \sqrt{6} \approx 1,45$ (valide) $x = -1 - \sqrt{6} \approx -3,45$ (valide) Aucune n'annule $(x-2)$ ou $(x+1)$. = Les deux solutions sont valides

Answer: $x = -1 + \sqrt{6}$ ou $x = -1 - \sqrt{6}$

Mistake: Oublier de vérifier les solutions étrangères

Why: Quand vous multipliez par une expression contenant la variable, vous pouvez introduire des solutions qui ne fonctionnent pas dans l'équation originale.

Correct: Substituez toujours votre réponse dans l'équation originale pour vérifier qu'aucun dénominateur ne devient nul.

Mistake: Ne pas multiplier TOUS les termes par le PPCM

Why: Les élèves oublient souvent de multiplier les termes qui sont déjà des entiers ou des fractions simples.

Correct: Chaque terme des deux côtés de l'équation doit être multiplié par le PPCM, y compris les constantes comme $3$ ou $\frac{1}{2}$.

Mistake: Utiliser le mauvais PPCM

Why: Trouver le PPCM d'expressions algébriques est plus difficile que de trouver le PPCM de nombres.

Correct: Factorisez d'abord tous les dénominateurs, puis incluez chaque facteur le nombre maximal de fois qu'il apparaît dans n'importe quel dénominateur.

Mistake: Erreurs de signe lors du développement

Why: Après avoir éliminé les dénominateurs, les élèves font souvent des erreurs avec les signes négatifs lors du développement.

Correct: Soyez très prudent avec la soustraction : $-(x-3) = -x + 3$, pas $-x - 3$.

Problèmes de taux de travail

Quand deux travailleurs ou machines accomplissent une tâche ensemble, leur taux combiné est la somme des taux individuels.

Le tuyau A remplit une piscine en 6 heures. Le tuyau B la remplit en 4 heures. Ensemble : $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{t}$ donne $t = 2,4$ heures.

Problèmes de vitesse moyenne

Trouver la vitesse moyenne pour un aller-retour nécessite des équations rationnelles quand les vitesses diffèrent.

Rouler 60 km à 30 km/h, retour à 60 km/h. La vitesse moyenne n'est PAS 45 km/h ! Résolvez $\frac{120}{v} = \frac{60}{30} + \frac{60}{60}$ pour obtenir $v = 40$ km/h.

Circuits électriques

Les résistances en parallèle se combinent selon la formule $\frac{1}{R_T} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.

Deux résistances de 6 ohms et 3 ohms en parallèle : $\frac{1}{R_T} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$, donc $R_T = 2$ ohms.

Q: Qu'est-ce qu'une solution étrangère ?

A: Une solution étrangère est une valeur qui satisfait l'équation simplifiée mais annule un des dénominateurs originaux. Elle apparaît pendant le processus de résolution mais n'est pas une solution valide de l'équation originale.

Q: Pourquoi multiplie-t-on par le PPCM ?

A: Multiplier par le PPCM élimine tous les dénominateurs, convertissant l'équation rationnelle en une équation polynomiale plus facile à résoudre. Pensez-y comme éliminer les fractions.

Q: Une équation rationnelle peut-elle n'avoir aucune solution ?

A: Oui ! Si toutes les solutions trouvées sont étrangères (elles annulent un dénominateur), alors l'équation n'a pas de solution.

Q: Comment trouver le PPCM avec des expressions variables ?

A: Factorisez d'abord complètement tous les dénominateurs. Le PPCM inclut chaque facteur unique élevé à la plus haute puissance à laquelle il apparaît dans n'importe quel dénominateur.