Quand une variable est déjà isolée

Résous le système : $$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$$

Identifie la variable isolée: La première équation a déjà $y$ isolé : $y = 3x - 2$ = $y = 3x - 2$

Substitue dans l'autre équation: Remplace $y$ par $(3x - 2)$ dans la deuxième équation : $2x + (3x - 2) = 8$ = $2x + 3x - 2 = 8$

Résous pour $x$: $5x - 2 = 8$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Remplace pour trouver $y$: $y = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$ = $y = 4$

Vérifie la solution: Vérifie dans la deuxième équation : $2(2) + 4 = 4 + 4 = 8$ ✓ = Solution vérifiée !

Answer: La solution est $(2, 4)$

Isoler une variable d'abord

Résous le système : $$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$$

Choisis quelle variable isoler: De la première équation, isole $x$ : $x = 7 - y$ = $x = 7 - y$

Substitue dans l'autre équation: Remplace $x$ par $(7 - y)$ dans la deuxième équation : $2(7 - y) - 3y = -6$ = $2(7 - y) - 3y = -6$

Développe et simplifie: $14 - 2y - 3y = -6$ $14 - 5y = -6$ = $14 - 5y = -6$

Résous pour $y$: $-5y = -6 - 14$ $-5y = -20$ $y = 4$ = $y = 4$

Remplace pour trouver $x$: $x = 7 - 4 = 3$ = $x = 3$

Vérifie dans les deux équations: Équation 1 : $3 + 4 = 7$ ✓ Équation 2 : $2(3) - 3(4) = 6 - 12 = -6$ ✓ = Les deux équations sont satisfaites !

Answer: La solution est $(3, 4)$

Système avec solution entière

Résous le système : $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 4x - y = 5 \end{cases}$$

Identifie la variable isolée: $y$ est déjà isolé dans la première équation = $y = 2x + 1$

Substitue dans la deuxième équation: $4x - (2x + 1) = 5$ = $4x - 2x - 1 = 5$

Résous pour $x$: $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$ = $x = 3$

Trouve $y$: $y = 2(3) + 1 = 7$ = $y = 7$

Vérifie: Vérification : $4(3) - 7 = 12 - 7 = 5$ ✓ = Vérifié !

Answer: La solution est $(3, 7)$

Choisir la meilleure variable à isoler

Résous le système : $$\begin{cases} 3x + y = 10 \\ 5x - 2y = -4 \end{cases}$$

Choisis la variable la plus facile à isoler: Dans la première équation, $y$ a le coefficient 1, donc isole $y$ : $y = 10 - 3x$ = $y = 10 - 3x$

Substitue dans la deuxième équation: $5x - 2(10 - 3x) = -4$ = $5x - 2(10 - 3x) = -4$

Développe et combine: $5x - 20 + 6x = -4$ $11x - 20 = -4$ = $11x - 20 = -4$

Résous pour $x$: $11x = 16$ $x = \frac{16}{11}$ = $x = \frac{16}{11}$

Trouve $y$: $y = 10 - 3 \cdot \frac{16}{11} = 10 - \frac{48}{11} = \frac{110 - 48}{11} = \frac{62}{11}$ = $y = \frac{62}{11}$

Vérifie: Vérifie la première équation : $3 \cdot \frac{16}{11} + \frac{62}{11} = \frac{48 + 62}{11} = \frac{110}{11} = 10$ ✓ = Solution vérifiée !

Answer: La solution est $\left(\frac{16}{11}, \frac{62}{11}\right)$

Mistake: Oublier de distribuer lors de la substitution

Why: Quand tu substitues une expression comme $(3x - 2)$ et qu'il y a un coefficient devant, tu dois distribuer.

Correct: Si tu as $2(3x - 2)$, distribue pour obtenir $6x - 4$, pas $6x - 2$.

Mistake: Substituer dans la même équation

Why: Si tu résous l'équation 1 pour $y$ et substitues dans l'équation 1, tu obtiens juste $0 = 0$ (toujours vrai) et tu n'apprends rien.

Correct: Substitue toujours dans l'AUTRE équation pour créer une nouvelle équation avec une variable.

Mistake: Erreurs de signe lors de la distribution des négatifs

Why: Soustraire une expression comme $-(2x + 3)$ signifie multiplier chaque terme par $-1$.

Correct: $-(2x + 3) = -2x - 3$, pas $-2x + 3$.

Mistake: Ne pas vérifier la solution dans les DEUX équations

Why: Une solution doit satisfaire les deux équations. Vérifier une seule équation ne garantit pas l'exactitude.

Correct: Substitue toujours ta réponse dans les deux équations originales pour vérifier.

Comparer des forfaits téléphoniques

Les opérateurs téléphoniques proposent différents forfaits. La méthode par substitution aide à trouver quand deux forfaits coûtent le même prix.

Le forfait A coûte 20 euros par mois plus 0,10 euro par minute. Le forfait B coûte 30 euros par mois plus 0,05 euro par minute. Quand sont-ils égaux ?

Mélanger des solutions en chimie

Les scientifiques doivent souvent mélanger des solutions de différentes concentrations pour obtenir un résultat désiré.

Un chimiste a besoin de 100 mL d'une solution acide à 30%. Il dispose de solutions à 20% et 50%.

Planification budgétaire

Les entreprises utilisent des systèmes d'équations pour équilibrer coûts et revenus.

Une entreprise vend des produits basiques et premium. Si elle vend 50 articles et gagne 2000 euros, avec le basique à 30 euros et le premium à 50 euros, combien de chaque ont-ils vendu ?

Q: Quand dois-je utiliser la substitution plutôt que l'élimination ?

A: Utilise la substitution quand une variable est déjà isolée ou a un coefficient de 1. Utilise l'élimination quand les deux équations ont des coefficients similaires qui peuvent être facilement annulés.

Q: Que signifie obtenir $0 = 0$ ou une contradiction comme $0 = 5$ ?

A: Si tu obtiens $0 = 0$, le système a une infinité de solutions (les droites sont confondues). Si tu obtiens quelque chose d'impossible comme $0 = 5$, il n'y a pas de solution (droites parallèles).

Q: Est-ce important quelle variable j'isole en premier ?

A: Mathématiquement, non - tu obtiendras la même réponse. Pratiquement, choisis la variable la plus facile à isoler (plus petit coefficient, déjà partiellement isolée).