Une variable déjà isolée

Résous le système : $$\begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$

Identifie la variable isolée: La première équation a déjà $y$ isolé : $y = 3x - 4$ = Prêt pour la substitution

Substitue dans la deuxième équation: Remplace $y$ par $(3x - 4)$ dans $2x + y = 6$ : $2x + (3x - 4) = 6$ = $2x + 3x - 4 = 6$

Résous pour $x$: $5x - 4 = 6$ $5x = 10$ $x = 2$ = $x = 2$

Remplace pour trouver $y$: $y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$ = $y = 2$

Vérifie la solution: Vérifie dans les deux équations : $y = 3(2) - 4 = 2$ ✓ $2(2) + 2 = 6$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $(2, 2)$

Isoler une variable d'abord

Résous le système : $$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$

Choisis quelle variable isoler: Dans l'équation 1, $x$ a le coefficient 1, donc isole $x$ : $x = 8 - 2y$ = $x = 8 - 2y$

Substitue dans la deuxième équation: Remplace $x$ dans $3x - y = 3$ : $3(8 - 2y) - y = 3$ = $24 - 6y - y = 3$

Résous pour $y$: $24 - 7y = 3$ $-7y = -21$ $y = 3$ = $y = 3$

Remplace pour trouver $x$: $x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$ = $x = 2$

Vérifie la solution: Vérifie : $2 + 2(3) = 8$ ✓ $3(2) - 3 = 3$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $(2, 3)$

Système avec substitution simple

Résous le système : $$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x = y + 1 \end{cases}$$

Identifie la variable isolée: La deuxième équation a $x$ isolé : $x = y + 1$ = Prêt pour la substitution

Substitue dans la première équation: Remplace $x$ par $(y + 1)$ dans $2x + 3y = 12$ : $2(y + 1) + 3y = 12$ = $2y + 2 + 3y = 12$

Résous pour $y$: $5y + 2 = 12$ $5y = 10$ $y = 2$ = $y = 2$

Remplace pour trouver $x$: $x = 2 + 1 = 3$ = $x = 3$

Vérifie la solution: Vérifie : $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ ✓ $3 = 2 + 1$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: $(3, 2)$

Application : Vente de billets

Un théâtre a vendu 150 billets. Les billets adultes coûtent 12€ et les billets enfants 8€. Le revenu total était de 1480€. Combien de chaque type ont été vendus ?

Définis les variables et écris les équations: Soit $a$ = billets adultes, $e$ = billets enfants Total billets : $a + e = 150$ Revenu total : $12a + 8e = 1480$ = Système créé

Isole une variable: De l'équation 1 : $a = 150 - e$ = $a = 150 - e$

Substitue dans l'équation du revenu: $12(150 - e) + 8e = 1480$ $1800 - 12e + 8e = 1480$ = $1800 - 4e = 1480$

Résous pour $e$: $-4e = -320$ $e = 80$ = 80 billets enfants

Trouve les billets adultes: $a = 150 - 80 = 70$ = 70 billets adultes

Vérifie: $70 + 80 = 150$ ✓ $12(70) + 8(80) = 840 + 640 = 1480$ ✓ = Solution vérifiée

Answer: 70 billets adultes et 80 billets enfants

Mistake: Oublier de distribuer lors de la substitution

Why: Quand on substitue une expression comme $(3x - 4)$, les parenthèses indiquent que toute l'expression remplace la variable.

Correct: Toujours utiliser des parenthèses et distribuer : $2(3x - 4) = 6x - 8$, pas $2 \cdot 3x - 4 = 6x - 4$

Mistake: Substituer dans la mauvaise équation

Why: Si tu substitues dans l'équation utilisée pour l'isolation, tu pourrais obtenir une identité triviale au lieu d'une valeur.

Correct: Après avoir trouvé une variable, substitue dans l'AUTRE équation originale ou l'équation d'isolation.

Mistake: Erreurs de signe lors de l'isolation des variables

Why: Déplacer des termes de l'autre côté de l'égalité nécessite de changer les signes.

Correct: De $x + 2y = 8$, on obtient $x = 8 - 2y$ (pas $x = 8 + 2y$)

Mistake: Ne pas vérifier la solution dans les deux équations

Why: La solution doit satisfaire les deux équations simultanément. Vérifier une seule équation peut manquer des erreurs.

Correct: Toujours substituer $(x, y)$ dans les DEUX équations originales pour vérifier.

Analyse du seuil de rentabilité

Les entreprises utilisent des systèmes d'équations pour trouver où les revenus égalent les coûts.

Si le coût $C = 500 + 10x$ (500€ fixes plus 10€ par article) et le revenu $R = 25x$ (25€ par article), le seuil de rentabilité est quand $C = R$ : $500 + 10x = 25x$, donc $x = 33,3$ articles.

Problèmes de mélanges

Les scientifiques et pharmaciens utilisent des systèmes pour créer des solutions avec des concentrations spécifiques.

Pour faire 100 mL de solution acide à 30% à partir de solutions à 20% et 50% : Soit $x$ = mL à 20%, $y$ = mL à 50%. Alors $x + y = 100$ et $0,20x + 0,50y = 30$.

Q: Quand dois-je utiliser la substitution plutôt que l'élimination ?

A: Utilise la substitution quand une équation a déjà une variable isolée (comme $y = 2x + 3$) ou quand une variable a un coefficient de 1 ou -1. Utilise l'élimination quand les variables ont des coefficients faciles à égaliser ou annuler.

Q: Que faire si j'obtiens quelque chose comme $0 = 5$ ?

A: Si tu obtiens une affirmation fausse comme $0 = 5$, le système n'a pas de solution. Les droites sont parallèles et ne se croisent jamais.

Q: Que faire si j'obtiens quelque chose comme $0 = 0$ ?

A: Si tu obtiens une affirmation vraie comme $0 = 0$ sans variables, le système a une infinité de solutions. Les équations représentent la même droite.