Une division qui tombe juste

Calcule $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3)$.

Divise les coefficients: $8 \div 2 = 4$ = $4$

Soustrais les exposants (règle du quotient): $10^9 \div 10^3 = 10^{9-3} = 10^6$ = $10^6$

Regroupe et vérifie le coefficient: $4 \times 10^6$, et $1 \le 4 < 10$ = Déjà normalisé

Answer: $(8 \times 10^9) \div (2 \times 10^3) = 4 \times 10^6$

Le coefficient passe sous 1

Calcule $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2)$ et écris le résultat en notation scientifique.

Divise les coefficients: $1{,}2 \div 3 = 0{,}4$ = $0{,}4$

Soustrais les exposants: $10^{5-2} = 10^3$ = $0{,}4 \times 10^3$

Vérifie le coefficient: $0{,}4 < 1$, ce n'est donc pas encore une notation scientifique = Normaliser

Déplace la virgule d'un rang vers la droite, baisse l'exposant de 1: $0{,}4 \times 10^3 = (4 \times 10^{-1}) \times 10^3 = 4 \times 10^2$ = $4 \times 10^2$

Answer: $(1{,}2 \times 10^5) \div (3 \times 10^2) = 4 \times 10^2 = 400$

Diviser avec des exposants négatifs

Calcule $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7})$.

Divise les coefficients: $6 \div 2 = 3$ = $3$

Écris la soustraction des exposants en entier: $-4 - (-7)$ = On soustrait un négatif

Soustraire un négatif, c'est ajouter: $-4 - (-7) = -4 + 7 = 3$ = $10^3$

Regroupe et vérifie: $3 \times 10^3$, et $1 \le 3 < 10$ = $3 \times 10^3$

Answer: $(6 \times 10^{-4}) \div (2 \times 10^{-7}) = 3 \times 10^3 = 3000$

Un quotient qui ne s'arrête pas

Calcule $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3)$. Arrondis le coefficient à 3 chiffres significatifs.

Divise les coefficients: $7 \div 3 = 2{,}333\ldots$ (le 3 se répète à l'infini) = $2{,}333\ldots$

Arrondis à 3 chiffres significatifs: Chiffres $2$, $3$, $3$ ; le chiffre suivant est $3$, donc on arrondit vers le bas = $2{,}33$

Soustrais les exposants: $10^{8-3} = 10^5$ = $10^5$

Regroupe, avec le signe environ égal: $2{,}33 \times 10^5$, et $1 \le 2{,}33 < 10$ = $\approx 2{,}33 \times 10^5$

Answer: $(7 \times 10^8) \div (3 \times 10^3) \approx 2{,}33 \times 10^5$

Quel âge a la lumière du Soleil ?

Le Soleil est à environ $1{,}5 \times 10^{11}$ m de la Terre. La lumière parcourt $3 \times 10^8$ m par seconde. Combien de secondes la lumière du Soleil met-elle pour nous atteindre ?

Choisis l'opération : durée = distance ÷ vitesse: $(1{,}5 \times 10^{11}) \div (3 \times 10^8)$ = Division

Divise les coefficients: $1{,}5 \div 3 = 0{,}5$ = $0{,}5$

Soustrais les exposants: $10^{11-8} = 10^3$ = $0{,}5 \times 10^3$

Normalise: $0{,}5 \times 10^3 = 5 \times 10^2$ = $5 \times 10^2$ s

Rends-le facile à imaginer: $500 \div 60 \approx 8{,}3$ = Environ 8,3 minutes

Answer: $5 \times 10^2 = 500$ secondes, un peu plus de 8 minutes

Mistake: Diviser les exposants : $10^8 \div 10^2 = 10^4$

Why: L'exposant compte combien de facteurs 10 sont multipliés. Diviser simplifie des facteurs 10, donc on retire l'exposant, on ne le divise pas.

Correct: Soustrais : $10^8 \div 10^2 = 10^{8-2} = 10^6$ (huit facteurs 10 divisés par deux facteurs 10, il en reste six).

Mistake: Soustraire dans le mauvais ordre : $10^3 \div 10^7 = 10^4$

Why: Dans une division, l'ordre compte. L'exposant du nombre PAR lequel tu divises est soustrait de l'exposant du haut.

Correct: Toujours haut moins bas : $10^3 \div 10^7 = 10^{3-7} = 10^{-4}$, un petit nombre, ce qui est logique quand on divise par plus grand.

Mistake: Normaliser dans le mauvais sens : $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^4$

Why: Si le coefficient devient 10 fois plus grand, la puissance de dix doit devenir 10 fois plus petite, sinon la valeur passe de $400$ à $40\,000$.

Correct: Coefficient d'un rang vers le haut, exposant d'un cran vers le bas : $0{,}4 \times 10^3 = 4 \times 10^2$. Vérification : les deux valent $400$.

Mistake: Perdre un signe avec les exposants négatifs : $10^5 \div 10^{-3} = 10^2$

Why: Le deuxième signe moins a disparu. Soustraire $-3$ revient à ajouter $3$.

Correct: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$. Diviser par un nombre minuscule donne un grand résultat.

Astronomie : temps de trajet de la lumière

Les astronomes divisent une distance par la vitesse de la lumière pour savoir depuis combien de temps la lumière voyage. C'est pourquoi nous voyons le Soleil tel qu'il était il y a quelques minutes et les étoiles lointaines telles qu'elles étaient il y a des années.

La Lune est à environ $3{,}84 \times 10^8$ m. La lumière met $(3{,}84 \times 10^8) \div (3 \times 10^8) = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$ seconde pour y arriver.

Géographie : densité de population

La densité de population est le nombre d'habitants divisé par la superficie. Elle montre à quel point un pays ou une ville est peuplé, et c'est ainsi que les urbanistes comparent des lieux de tailles très différentes.

L'Allemagne compte environ $8{,}4 \times 10^7$ habitants sur environ $3{,}5 \times 10^5$ km². Densité : $(8{,}4 \div 3{,}5) \times 10^{7-5} = 2{,}4 \times 10^2$, soit environ $240$ habitants par km².

Économie : part par habitant

Les médias donnent les chiffres nationaux (budgets, dettes, dépenses totales) en milliards ou en milliers de milliards. En les divisant par la population, on obtient un montant par personne facile à imaginer.

Un pays de $4 \times 10^7$ habitants dépense $1{,}2 \times 10^{11}$ € par an en alimentation : $(1{,}2 \div 4) \times 10^{11-7} = 0{,}3 \times 10^4 = 3 \times 10^3$, soit environ 3000 € par personne.

Q: Le coefficient peut-il dépasser 10 quand je divise ?

A: Non. Les deux coefficients sont entre 1 et 10, donc leur quotient est toujours supérieur à $0{,}1$ et inférieur à $10$. C'est pourquoi, en division, tu ne normalises que dans un seul sens : un coefficient inférieur à 1 avance d'un rang vers la droite et l'exposant baisse de 1.

Q: Pourquoi soustrait-on les exposants ?

A: Parce que $10^m$ est le produit de $m$ facteurs 10. Diviser par $10^n$ simplifie $n$ de ces facteurs : $\frac{10^5}{10^2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10} = 10^3$. C'est la règle du quotient $10^m \div 10^n = 10^{m-n}$.

Q: Et si les deux nombres ont le même exposant ?

A: Alors les puissances se simplifient en $10^0 = 1$ et seuls les coefficients comptent : $(9 \times 10^4) \div (3 \times 10^4) = 3 \times 10^0 = 3$.

Q: Combien de chiffres significatifs dois-je garder ?

A: En général, autant que le nombre le moins précis de l'énoncé. Si les données ont 2 ou 3 chiffres significatifs, arrondis aussi le coefficient à 2 ou 3. Garder plus de chiffres que les données donne une fausse impression de précision.