Trouver un milieu simple

Trouve le milieu du segment ayant pour extrémités $A(2, 4)$ et $B(8, 10)$.

Identifier les coordonnées: $x_1 = 2$, $y_1 = 4$, $x_2 = 8$, $y_2 = 10$ = Coordonnées identifiées

Calculer la moyenne des abscisses: $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ = $x_M = 5$

Calculer la moyenne des ordonnées: $\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ = $y_M = 7$

Écrire le milieu: $M = (5, 7)$ = Milieu trouvé

Answer: Le milieu est $(5, 7)$.

Milieu avec coordonnées négatives

Trouve le milieu du segment reliant $P(-4, 3)$ et $Q(6, -1)$.

Identifier les coordonnées: $x_1 = -4$, $y_1 = 3$, $x_2 = 6$, $y_2 = -1$ = Coordonnées identifiées

Calculer la moyenne des abscisses: $\frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$ = $x_M = 1$

Calculer la moyenne des ordonnées: $\frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ = $y_M = 1$

Écrire le milieu: $M = (1, 1)$ = Milieu trouvé

Answer: Le milieu est $(1, 1)$.

Trouver une extrémité à partir du milieu

Le point $A$ est en $(2, 5)$ et le milieu $M$ est en $(6, 8)$. Trouve le point $B$.

Établir l'équation du milieu pour x: $\frac{2 + x_2}{2} = 6$ = Équation pour $x_2$

Résoudre pour $x_2$: $2 + x_2 = 12 \Rightarrow x_2 = 10$ = $x_2 = 10$

Établir l'équation du milieu pour y: $\frac{5 + y_2}{2} = 8$ = Équation pour $y_2$

Résoudre pour $y_2$: $5 + y_2 = 16 \Rightarrow y_2 = 11$ = $y_2 = 11$

Écrire l'extrémité: $B = (10, 11)$ = Extrémité trouvée

Answer: Le point $B$ est en $(10, 11)$.

Mistake: Soustraire les coordonnées au lieu de les additionner

Why: La formule du milieu nécessite de calculer une moyenne (additionner puis diviser par 2), pas de trouver une différence.

Correct: Toujours ADDITIONNER les coordonnées : $\frac{x_1 + x_2}{2}$, pas $\frac{x_2 - x_1}{2}$.

Mistake: Oublier de diviser par 2

Why: Additionner les coordonnées donne la somme, pas la moyenne. Tu dois diviser par 2 pour trouver le point au milieu.

Correct: Rappelle-toi : milieu signifie MOYENNE, donc divise toujours la somme par 2.

Mistake: Confondre les coordonnées x et y

Why: Associer accidentellement $x_1$ avec $y_2$ ou faire des erreurs de calcul.

Correct: Travaille systématiquement : d'abord calcule la moyenne de TOUTES les abscisses, puis la moyenne de TOUTES les ordonnées séparément.

Se retrouver à mi-chemin

Deux amis habitent dans des villes différentes et veulent se retrouver à un point équidistant des deux.

Si Alex habite aux coordonnées $(10, 20)$ et Jordan aux coordonnées $(30, 40)$, le point de rendez-vous est $(20, 30)$.

Centre d'un terrain de sport

Les terrains de sport ont besoin d'un point central marqué pour les engagements, entre-deux et mises au jeu.

Un terrain rectangulaire a des coins en $(0, 0)$ et $(100, 60)$. Le centre est en $(50, 30)$.

Q: Est-ce important quel point est $(x_1, y_1)$ et lequel est $(x_2, y_2)$ ?

A: Non ! L'addition est commutative, donc $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x_2 + x_1}{2}$. Tu obtiendras le même milieu dans les deux cas.

Q: Et si le milieu a des coordonnées décimales ?

A: C'est parfaitement normal ! Les milieux ont souvent des coordonnées décimales ou fractionnaires. Par exemple, le milieu de $(0, 0)$ et $(3, 5)$ est $(1{,}5; 2{,}5)$.

Q: Quel est le rapport entre la formule du milieu et la moyenne ?

A: La formule du milieu EST une moyenne ! L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses, et l'ordonnée est la moyenne des ordonnées.