Écrire une équation à partir du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine

Écris l'équation d'une droite de coefficient directeur $3$ et d'ordonnée à l'origine $-2$.

Identifie la forme à utiliser: Nous avons le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, donc utilisons la forme réduite : $y = mx + p$ = Utiliser $y = mx + p$

Substitue le coefficient directeur: $m = 3$, donc $y = 3x + p$ = $y = 3x + p$

Substitue l'ordonnée à l'origine: $p = -2$, donc $y = 3x + (-2)$ = $y = 3x - 2$

Answer: $y = 3x - 2$

Écrire une équation à partir d'un point et du coefficient directeur

Écris l'équation d'une droite passant par $(2, 5)$ avec un coefficient directeur de $-4$.

Choisis la forme appropriée: Nous avons un point et le coefficient directeur, donc utilisons la forme point-pente : $y - y_1 = m(x - x_1)$ = Utiliser la forme point-pente

Identifie les valeurs: $(x_1, y_1) = (2, 5)$ et $m = -4$ = $x_1 = 2$, $y_1 = 5$, $m = -4$

Substitue dans la formule: $y - 5 = -4(x - 2)$ = $y - 5 = -4(x - 2)$

Convertis en forme réduite (optionnel): $y - 5 = -4x + 8$, donc $y = -4x + 13$ = $y = -4x + 13$

Answer: $y - 5 = -4(x - 2)$ ou $y = -4x + 13$

Trouver l'équation à partir de deux points

Trouve l'équation de la droite passant par $(-1, 4)$ et $(3, -2)$.

Calcule le coefficient directeur: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ = $m = -\frac{3}{2}$

Utilise la forme point-pente avec un point: Avec $(-1, 4)$ : $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - (-1))$ = $y - 4 = -\frac{3}{2}(x + 1)$

Simplifie en forme réduite: $y - 4 = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$, donc $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ = $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$

Vérifie avec le second point: Substitue $(3, -2)$ : $-2 = -\frac{3}{2}(3) + \frac{5}{2} = -\frac{9}{2} + \frac{5}{2} = -\frac{4}{2} = -2$ ✓ = Vérifié !

Answer: $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$

Conversion en forme générale

Convertis $y = \frac{2}{3}x - 4$ en forme générale.

Élimine la fraction: Multiplie les deux côtés par $3$ : $3y = 2x - 12$ = $3y = 2x - 12$

Réarrange en forme générale: Déplace $2x$ vers la gauche : $-2x + 3y = -12$ = $-2x + 3y = -12$

Rends le coefficient de $x$ positif: Multiplie par $-1$ : $2x - 3y = 12$ = $2x - 3y = 12$

Answer: $2x - 3y = 12$

Mistake: Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine dans $y = mx + p$

Why: Les élèves pensent parfois que le premier nombre est l'ordonnée à l'origine. Dans $y = 3x + 5$, le coefficient directeur est $3$ (coefficient de $x$) et l'ordonnée à l'origine est $5$ (terme constant).

Correct: Rappelle-toi : $m$ vient avant $p$ dans la formule, et $m$ est multiplié par $x$. L'ordonnée à l'origine est le nombre isolé.

Mistake: Calcul incorrect du coefficient directeur : $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$

Why: Les élèves inversent la formule en mettant $x$ au numérateur au lieu de $y$.

Correct: Coefficient directeur = variation verticale / variation horizontale = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Les valeurs de $y$ vont au numérateur.

Mistake: Erreurs de signe dans la forme point-pente

Why: Quand le point a une coordonnée négative comme $(-3, 2)$, les élèves écrivent $y - 2 = m(x - -3)$ incorrectement comme $y - 2 = m(x - 3)$.

Correct: Avec le point $(-3, 2)$ : $x - (-3) = x + 3$, donc l'équation est $y - 2 = m(x + 3)$.

Mistake: Oublier de développer dans la forme point-pente

Why: En développant $y - 5 = 2(x - 3)$, les élèves écrivent $y - 5 = 2x - 3$ au lieu de $y - 5 = 2x - 6$.

Correct: Distribue le coefficient directeur aux DEUX termes entre parenthèses : $2(x - 3) = 2x - 6$.

Forfaits téléphoniques

Les forfaits téléphoniques ont souvent un frais mensuel fixe plus un coût par minute ou gigaoctet utilisé.

Un forfait coûte 20 euros par mois plus 0,05 euro par SMS. L'équation est $C = 0,05t + 20$, où $C$ est le coût total et $t$ le nombre de SMS.

Conversion de température

La relation entre Celsius et Fahrenheit est linéaire.

La formule $F = \frac{9}{5}C + 32$ convertit les Celsius en Fahrenheit. Le coefficient directeur $\frac{9}{5}$ signifie que chaque degré Celsius équivaut à $1,8$ degré Fahrenheit.

Tarif de taxi

Les compagnies de taxi facturent généralement un tarif de base plus un prix au kilomètre.

Si un taxi facture 3 euros de prise en charge et 1,50 euro par kilomètre, l'équation du tarif est $T = 1,5d + 3$, où $d$ est la distance en kilomètres.

Q: Quelle forme dois-je utiliser ?

A: Utilise la forme réduite quand tu dois tracer rapidement ou identifier le coefficient directeur/l'ordonnée à l'origine. Utilise la forme point-pente quand un point et le coefficient directeur sont donnés. Utilise la forme générale pour les systèmes d'équations ou quand des coefficients entiers sont requis.

Q: Comment savoir si deux équations représentent la même droite ?

A: Convertis les deux équations dans la même forme (généralement la forme réduite). Si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine, elles représentent la même droite.

Q: Que faire si le coefficient directeur est nul ou indéfini ?

A: Si le coefficient directeur est nul, la droite est horizontale : $y = p$. Si le coefficient directeur est indéfini (droite verticale), l'équation est $x = a$, qui ne peut pas s'écrire sous forme réduite.