Axes de symétrie d'un rectangle

Un rectangle mesure $6$ cm sur $4$ cm. Combien d'axes de symétrie possède-t-il ?

Plie-le de haut en bas: Le pli passe par les milieux des deux petits côtés. Les deux moitiés mesurent $6$ cm sur $2$ cm et se superposent. = 1 axe de symétrie

Plie-le de gauche à droite: Le pli passe par les milieux des deux grands côtés. Les deux moitiés mesurent $3$ cm sur $4$ cm et se superposent. = 2e axe de symétrie

Teste une diagonale: En pliant le long d'une diagonale, un triangle se retourne, mais les sommets ne tombent pas l'un sur l'autre car $6 \neq 4$. = Une diagonale n'est PAS un axe de symétrie

Answer: Le rectangle a $2$ axes de symétrie, tous deux passant par les milieux de côtés opposés. Les diagonales ne sont pas des axes de symétrie.

Symétrie de rotation d'un pentagone régulier

Trouve l'ordre de symétrie de rotation et le plus petit angle de rotation d'un pentagone régulier.

Compte les positions: Chaque sommet peut prendre la place du suivant, et le pentagone reste identique. Il y a $5$ sommets. = Ordre $5$

Utilise la formule: $\text{plus petit angle} = \frac{360°}{5}$ = $72°$

Vérifie avec le tour complet: $5 \times 72° = 360°$ = Cinq rotations de $72°$ font un tour complet

Answer: Un pentagone régulier a une symétrie de rotation d'ordre $5$ avec un plus petit angle de rotation de $72°$.

Toute la symétrie d'un octogone régulier

Un panneau stop est un octogone régulier. Décris tous ses axes de symétrie et sa symétrie de rotation.

Compte les axes passant par des sommets opposés: $8$ sommets forment $\frac{8}{2} = 4$ paires de sommets opposés. = $4$ axes

Compte les axes passant par les milieux de côtés opposés: $8$ côtés forment $\frac{8}{2} = 4$ paires de côtés opposés. = $4$ axes

Additionne: $4 + 4 = 8$, autant que de côtés = $8$ axes de symétrie

Trouve l'ordre et le plus petit angle: Ordre $8$, plus petit angle $\frac{360°}{8} = 45°$ = $45°$

Vérifie la symétrie centrale: $180° = 4 \times 45°$, donc un demi-tour convient aussi = Symétrie centrale : oui

Answer: Un octogone régulier a $8$ axes de symétrie, une symétrie de rotation d'ordre $8$ (plus petit angle $45°$) et une symétrie centrale.

Un parallélogramme : tourner sans plier

Un parallélogramme (qui n'est ni un rectangle ni un losange) a-t-il une symétrie axiale ? A-t-il une symétrie de rotation ?

Essaie de plier par les milieux de deux côtés opposés: Les côtés obliques penchent du même côté, donc après le pliage ils se croisent au lieu de se superposer. = Pas un axe de symétrie

Essaie de plier le long d'une diagonale: Les deux triangles sont superposables, mais le pliage en retourne un, donc les sommets ne tombent pas l'un sur l'autre. = Pas un axe de symétrie

Fais-le tourner de $180°$ autour du point d'intersection des diagonales: Les diagonales se coupent en leur milieu, donc chaque sommet arrive sur le sommet opposé. = Il se superpose après un demi-tour

Donne l'ordre et la symétrie centrale: Il se superpose après $180°$ et $360°$ : $\frac{360°}{180°} = 2$ = Ordre $2$, symétrie centrale

Answer: Un parallélogramme a $0$ axe de symétrie mais une symétrie de rotation d'ordre $2$, il possède donc une symétrie centrale.

Remonter à partir de l'angle

Un polygone régulier se superpose à lui-même après une rotation de $40°$, et $40°$ est le plus petit angle qui convient. Combien de côtés et combien d'axes de symétrie a-t-il ?

Trouve l'ordre: $\text{ordre} = \frac{360°}{40°} = 9$ = Ordre $9$

Trouve le nombre de côtés: Pour un polygone régulier, l'ordre est égal au nombre de côtés = $9$ côtés (un ennéagone)

Trouve les axes de symétrie: Un polygone régulier a autant d'axes que de côtés = $9$ axes

Décris les axes: $9$ est impair, donc chaque axe passe par un sommet et par le milieu du côté opposé = Aucun axe ne relie deux sommets

Answer: C'est un ennéagone régulier : $9$ côtés, $9$ axes de symétrie (chacun par un sommet et le milieu du côté opposé), ordre $9$.

Mistake: Compter les diagonales d'un rectangle comme axes de symétrie

Why: Une diagonale partage le rectangle en deux triangles superposables, mais cela ne suffit pas : les moitiés doivent être symétriques par rapport à la droite.

Correct: Fais le test du pliage. Plié le long d'une diagonale, les sommets d'un rectangle ne se rejoignent pas, il n'a donc que $2$ axes de symétrie.

Mistake: Donner l'angle au lieu de l'ordre (dire qu'un carré est d'ordre $90$)

Why: L'ordre et le plus petit angle sont deux nombres différents qui vont ensemble.

Correct: L'ordre compte les superpositions en un tour complet ($4$ pour un carré) ; l'angle vaut $\frac{360°}{\text{ordre}} = 90°$.

Mistake: Penser que toute figure avec une symétrie de rotation a aussi un axe de symétrie

Why: Beaucoup de figures symétriques connues ont les deux, alors on suppose qu'elles vont toujours ensemble.

Correct: Un parallélogramme est d'ordre $2$ mais n'a aucun axe de symétrie. Vérifie toujours pliages et rotations séparément.

Mistake: Compter deux fois chaque axe de symétrie d'un polygone ayant un nombre pair de côtés

Why: Un axe passant par deux sommets opposés touche deux sommets, alors on le compte à chaque bout.

Correct: Compte des paires : un hexagone régulier a $3$ axes par des sommets opposés et $3$ par des milieux opposés, $6$ au total.

Panneaux routiers

Un panneau stop est un octogone régulier. Sa symétrie le rend facile à reconnaître, même vu de biais ou légèrement tourné.

Un panneau cédez le passage est un triangle équilatéral : $3$ axes de symétrie et un ordre $3$, il se superpose donc à lui-même après $\frac{360°}{3} = 120°$.

Enjoliveurs et roues

Les designers de roues répartissent régulièrement des rayons identiques. La roue a alors une symétrie de rotation, ce qui la garde équilibrée quand elle tourne.

Une roue à $4$ rayons identiques est d'ordre $4$ : elle paraît identique tous les $\frac{360°}{4} = 90°$.

Flocons de neige

Les cristaux de glace poussent dans six directions, donc un flocon de neige a $6$ axes de symétrie et une symétrie de rotation d'ordre $6$, comme un hexagone régulier.

Un flocon se superpose à lui-même après $\frac{360°}{6} = 60°$, et comme $6$ est pair il a aussi une symétrie centrale.

Q: Pourquoi dit-on ordre 1 et pas ordre 0 ?

A: Toute figure se superpose à elle-même après un tour complet de $360°$, donc le nombre de superpositions vaut au moins $1$. L'ordre $1$ signifie que seul ce tour complet convient, autrement dit la figure n'a pas de symétrie de rotation.

Q: La symétrie centrale est-elle la même chose que la symétrie de rotation ?

A: La symétrie centrale est un cas particulier de symétrie de rotation : un demi-tour ($180°$) convient. Une figure d'ordre $2$, $4$ ou $6$ la possède. Un triangle équilatéral (ordre $3$) a une symétrie de rotation mais pas de symétrie centrale.

Q: Le nombre d'axes est-il toujours égal à l'ordre ?

A: Pour un polygone ayant au moins un axe de symétrie, oui : le carré a $4$ et $4$, le cerf-volant $1$ et $1$. Un polygone sans axe peut quand même avoir une symétrie de rotation, comme le parallélogramme d'ordre $2$.

Q: Combien d'axes de symétrie possède un cercle ?

A: Une infinité : toute droite passant par le centre est un axe de symétrie, et un cercle se superpose à lui-même après une rotation de n'importe quel angle. Un cercle n'est pas un polygone, il n'apparaît donc pas dans le tableau.