Régulier ou pas ?

Décide quelles figures sont des polygones réguliers : un losange d'angles $70°$ et $110°$, un rectangle de 3 cm sur 5 cm et un triangle équilatéral.

Vérifie le losange: Les 4 côtés sont égaux, mais les angles mesurent $70°$ et $110°$ = Angles pas égaux : pas régulier

Vérifie le rectangle: Les 4 angles mesurent $90°$, mais les côtés mesurent 3 cm et 5 cm = Côtés pas égaux : pas régulier

Vérifie le triangle équilatéral: Les 3 côtés sont égaux et les 3 angles mesurent $60°$ = Régulier

Answer: Seul le triangle équilatéral est régulier. Le losange échoue sur les angles, le rectangle sur les côtés.

Les trois angles d'un octogone régulier

Trouve l'angle intérieur, l'angle extérieur et l'angle au centre d'un octogone régulier.

Compte les côtés: Un octogone a $n = 8$ côtés = $n = 8$

Angle intérieur: $\frac{(8-2) \times 180°}{8} = \frac{1080°}{8}$ = $135°$

Angle extérieur: $\frac{360°}{8}$ (vérification : $180° - 135° = 45°$) = $45°$

Angle au centre: $\frac{360°}{8}$, le tour complet autour du centre partagé entre 8 triangles = $45°$

Answer: Angle intérieur $135°$, angle extérieur $45°$, angle au centre $45°$.

Trouver n à partir de l'angle intérieur

Chaque angle intérieur d'un polygone régulier mesure $144°$. Combien de côtés a-t-il ?

Trouve l'angle extérieur: $180° - 144°$ = $36°$

Utilise angle extérieur $= \frac{360°}{n}$: $n = \frac{360°}{36°}$ = $n = 10$

Vérifie avec la formule de l'angle intérieur: $\frac{(10-2) \times 180°}{10} = \frac{1440°}{10} = 144°$ = Correct

Answer: Le polygone a 10 côtés : c'est un décagone régulier.

Aire avec un apothème donné

Un pentagone régulier a des côtés de 8 cm et un apothème de 5,5 cm. Calcule son aire.

Calcule le périmètre: $P = 5 \times 8$ = $P = 40$ cm

Écris la formule de l'aire: $A = \frac{1}{2} \times P \times a$ = Formule prête

Remplace: $A = \frac{1}{2} \times 40 \times 5{,}5$ = $A = 110$ cm²

Answer: L'aire du pentagone est $110$ cm².

Aire d'un hexagone régulier à partir de son côté

Un hexagone régulier a des côtés de 6 cm. Calcule son aire sans que l'apothème soit donné.

Découpe-le en 6 triangles depuis le centre: Angle au centre $\frac{360°}{6} = 60°$, angles à la base $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$ = 6 triangles équilatéraux de côté 6 cm

L'apothème est la hauteur d'un triangle: $a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27}$ = $a \approx 5{,}196$ cm

Aire d'un triangle: $\frac{1}{2} \times 6 \times 5{,}196$ = $\approx 15{,}59$ cm²

Aire de l'hexagone: $6 \times 15{,}588 \approx 93{,}53$ (vérification : $\frac{1}{2} \times 36 \times 5{,}196 \approx 93{,}53$) = $A \approx 93{,}53$ cm²

Answer: L'aire vaut environ $93{,}53$ cm² (exactement $54\sqrt{3}$ cm²).

Mistake: Dire qu'un losange est régulier parce que tous ses côtés sont égaux

Why: Des côtés égaux ne sont que la moitié de la définition. Un losange peut avoir des angles de $60°$ et $120°$.

Correct: Un polygone est régulier seulement si tous ses côtés ET tous ses angles sont égaux. Vérifie toujours les deux.

Mistake: Oublier de diviser par $n$ : donner $(n-2) \times 180°$ comme un seul angle intérieur

Why: $(n-2) \times 180°$ est la SOMME de tous les angles intérieurs, $720°$ pour un hexagone, beaucoup trop pour un seul angle.

Correct: Un angle intérieur d'un polygone régulier à $n$ côtés vaut $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$, pour un hexagone $\frac{720°}{6} = 120°$.

Mistake: Trouver $n$ en divisant $360°$ par l'angle INTÉRIEUR

Why: Pour un angle intérieur de $144°$, cela donne $\frac{360}{144} = 2{,}5$ côtés, ce qui est impossible. Seul l'angle extérieur vérifie $\frac{360°}{n}$.

Correct: Trouve d'abord l'angle extérieur $180° - 144° = 36°$, puis $n = \frac{360°}{36°} = 10$.

Mistake: Utiliser le côté ou le rayon au lieu de l'apothème dans $A = \frac{1}{2} P a$

Why: Le rayon va jusqu'à un sommet et il est plus long que l'apothème. Seul l'apothème est perpendiculaire au côté, donc seul lui est la hauteur de chaque triangle.

Correct: Utilise l'apothème : la distance perpendiculaire du centre au milieu d'un côté.

Alvéoles et carreaux hexagonaux

Les abeilles et les fabricants de carrelage utilisent des hexagones réguliers, car exactement trois s'ajustent autour d'un point sans trou.

Les carrés s'assemblent par 4 autour d'un point ($4 \times 90° = 360°$), les triangles équilatéraux par 6 ($6 \times 60° = 360°$).

Panneaux stop

Un panneau stop est un octogone régulier. Les fabricants utilisent l'aire pour savoir combien de film réfléchissant il faut pour chaque panneau.

Un octogone régulier de côté 25 cm a un apothème d'environ 30,2 cm.

Le plancher d'un kiosque

Le plancher d'un kiosque octogonal est formé de 8 sections triangulaires en bois identiques qui se rejoignent au centre.

Chaque section a, à sa pointe au centre, l'angle au centre $\frac{360°}{8} = 45°$.

Q: Tout triangle à trois côtés égaux est-il régulier ?

A: Oui. Dans un triangle, des côtés égaux imposent des angles égaux, donc tout triangle équilatéral a trois angles de $60°$. À partir de quatre côtés, ce n'est plus vrai : un losange a des côtés égaux mais peut avoir des angles différents.

Q: Pourquoi l'angle extérieur et l'angle au centre sont-ils égaux ?

A: Les deux partagent les $360°$ d'un tour complet en $n$ parts égales : les angles extérieurs sont les $n$ virages d'une promenade autour du polygone, les angles au centre sont les $n$ parts autour du centre. Donc les deux valent $\frac{360°}{n}$.

Q: Pourquoi un pentagone régulier ne peut-il pas paver un sol ?

A: Son angle intérieur mesure $108°$. Trois angles font $324°$ et laissent un trou de $36°$, quatre feraient $432°$ et se chevaucheraient. Comme $\frac{360}{108}$ n'est pas un nombre entier, les pentagones ne peuvent pas s'assembler sans trou.

Q: Combien d'axes de symétrie a un polygone régulier ?

A: Un polygone régulier à $n$ côtés a $n$ axes de symétrie, par exemple 6 pour un hexagone régulier. La leçon sur la symétrie des polygones étudie ces axes et les rotations en détail.