Représenter y > x - 2

Représente l'inéquation $y > x - 2$ sur un plan cartésien.

Identifie la droite frontière: Traite-la comme $y = x - 2$. Pente $m = 1$, ordonnée à l'origine $b = -2$ = Frontière : $y = x - 2$

Détermine le style de la droite: Puisque le symbole est $>$ (pas $\geq$), les points SUR la droite NE SONT PAS inclus = Utilise une droite EN POINTILLÉS

Trace la droite frontière: Place l'ordonnée à l'origine $(0, -2)$, utilise la pente pour trouver $(1, -1)$, $(2, 0)$ = Droite en pointillés passant par ces points

Choisis un point test: Utilise $(0, 0)$ car c'est facile à calculer et pas sur la droite = Point test : $(0, 0)$

Substitue dans l'inéquation: $0 > 0 - 2 \Rightarrow 0 > -2$ VRAI ! = $(0, 0)$ est une solution

Ombre la région correcte: Puisque $(0, 0)$ fonctionne, ombre le côté contenant $(0, 0)$ = Ombre AU-DESSUS de la droite

Answer: Droite en pointillés passant par $(0, -2)$ avec une pente de 1, ombrée au-dessus de la droite.

Représenter 2x + y ≤ 4

Représente l'inéquation $2x + y \leq 4$ sur un plan cartésien.

Réécris sous forme pente-ordonnée: $y \leq -2x + 4$ = Pente $m = -2$, ordonnée à l'origine $b = 4$

Détermine le style de la droite: Puisque le symbole est $\leq$, les points SUR la droite SONT inclus = Utilise une droite PLEINE

Trace la droite frontière: Place $(0, 4)$, utilise la pente $-2$ pour trouver $(1, 2)$, $(2, 0)$ = Droite pleine passant par ces points

Teste le point $(0, 0)$: $2(0) + 0 \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4$ VRAI ! = $(0, 0)$ est une solution

Ombre la région correcte: Puisque $(0, 0)$ fonctionne, ombre le côté contenant l'origine = Ombre EN DESSOUS de la droite

Answer: Droite pleine passant par $(0, 4)$ et $(2, 0)$, ombrée en dessous (incluant la droite).

Représenter y < -½x + 3

Représente l'inéquation $y < -\frac{1}{2}x + 3$.

Identifie la pente et l'ordonnée à l'origine: Pente $m = -\frac{1}{2}$, ordonnée à l'origine $b = 3$ = Frontière : $y = -\frac{1}{2}x + 3$

Détermine le style de la droite: Le symbole est $<$ (inégalité stricte), donc les points sur la droite NE SONT PAS des solutions = Utilise une droite EN POINTILLÉS

Trace la droite frontière: Commence à $(0, 3)$. Va 2 vers la droite, 1 vers le bas pour obtenir $(2, 2)$. Continue à $(4, 1)$ = Droite en pointillés tracée

Teste le point $(0, 0)$: $0 < -\frac{1}{2}(0) + 3 \Rightarrow 0 < 3$ VRAI ! = $(0, 0)$ satisfait l'inéquation

Ombre la région solution: Ombre le côté contenant $(0, 0)$ = Ombre EN DESSOUS de la droite

Answer: Droite en pointillés avec ordonnée à l'origine 3 et pente $-\frac{1}{2}$, ombrée en dessous.

Quand le point test est sur la droite

Représente $y \geq 2x$ sur un plan cartésien.

Identifie la droite frontière: $y = 2x$ passe par l'origine avec une pente de 2 = La frontière passe par $(0, 0)$

Détermine le style de la droite: Le symbole est $\geq$, donc utilise une droite pleine = Droite PLEINE

Choisis un autre point test: $(0, 0)$ est SUR la droite, donc utilise $(1, 0)$ à la place = Test : $(1, 0)$

Teste le point: $0 \geq 2(1) \Rightarrow 0 \geq 2$ FAUX ! = $(1, 0)$ N'EST PAS une solution

Ombre le côté opposé: Puisque $(1, 0)$ a échoué, ombre l'AUTRE côté (au-dessus de la droite) = Ombre AU-DESSUS de la droite

Answer: Droite pleine passant par l'origine avec une pente de 2, ombrée au-dessus de la droite.

Mistake: Utiliser le mauvais style de droite (pleine vs pointillés)

Why: Les élèves oublient que $<$ et $>$ nécessitent une droite en pointillés car les points SUR la droite ne sont pas des solutions.

Correct: Droite pleine pour $\leq$ et $\geq$ (droite incluse). Droite en pointillés pour $<$ et $>$ (droite exclue).

Mistake: Ombrer la mauvaise région

Why: Les élèves ombrent au-dessus pour 'supérieur à' sans tester, mais l'inéquation pourrait être sous forme standard.

Correct: TOUJOURS tester un point ! Substitue un point simple comme $(0, 0)$ pour vérifier quel côté ombrer.

Mistake: Oublier d'inverser l'inéquation lors de la multiplication par un négatif

Why: Lors de la transformation sous forme pente-ordonnée, diviser par un nombre négatif inverse l'inéquation.

Correct: Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, inverse le symbole d'inégalité : $-2y > 6$ devient $y < -3$.

Mistake: Tester un point qui se trouve sur la droite frontière

Why: Les points sur la droite ne permettent pas de déterminer quel côté ombrer.

Correct: Choisis un point test clairement PAS sur la droite. L'origine $(0, 0)$ est idéale sauf si la droite passe par elle.

Contraintes budgétaires

Lors de la planification des dépenses, tu as souvent un montant maximum à dépenser.

Si les billets de concert coûtent 75€ et la nourriture 25€ par personne, et que tu as 300€ au total, alors $75b + 25n \leq 300$ où $b$ = billets, $n$ = achats de nourriture.

Limites de production

Les usines ont des contraintes de capacité de production et de ressources.

Une usine peut produire au maximum 500 articles par jour. Si elle fabrique des chaises et des tables, et que les tables prennent deux fois plus de temps, alors $c + 2t \leq 500$.

Q: Comment savoir quel côté ombrer ?

A: Choisis un point test qui n'est pas sur la droite ($(0,0)$ est le plus facile). Substitue dans l'inéquation originale. Si VRAI, ombre ce côté. Si FAUX, ombre le côté opposé.

Q: Pourquoi la droite est-elle parfois en pointillés ?

A: Une droite en pointillés signifie que les points SUR la droite NE SONT PAS des solutions. Cela arrive avec les inégalités strictes ($<$ ou $>$). Les droites pleines ($\leq$ ou $\geq$) incluent les points sur la droite.

Q: Et si l'origine est sur la droite frontière ?

A: Choisis un autre point test comme $(1, 0)$ ou $(0, 1)$. Tout point clairement pas sur la droite fonctionne.