Des mots aux symboles

Soit $P$ : "Le magasin est ouvert" et $Q$ : "J'ai de l'argent". Écris chaque phrase en symboles : (a) Le magasin est ouvert et j'ai de l'argent. (b) Le magasin n'est pas ouvert ou j'ai de l'argent. (c) Le magasin est ouvert mais je n'ai pas d'argent. (d) Le magasin n'est pas ouvert et je n'ai pas d'argent.

Phrase (a): Le mot *et* relie deux parties qui sont toutes les deux affirmées comme vraies = $P \land Q$

Phrase (b): *ne ... pas* ne porte que sur la première partie, *ou* relie les deux parties = $\neg P \lor Q$

Phrase (c): *mais* signifie ET, et *je n'ai pas d'argent* est la négation de $Q$ = $P \land \neg Q$

Phrase (d): Les deux parties sont niées et reliées par *et* = $\neg P \land \neg Q$

Answer: (a) $P \land Q$, (b) $\neg P \lor Q$, (c) $P \land \neg Q$, (d) $\neg P \land \neg Q$. La phrase (d) peut aussi se dire avec ni ... ni : ni le magasin n'est ouvert, ni je n'ai d'argent.

Valeurs de vérité avec des nombres

Soit $P$ : "$7$ est un nombre premier" et $Q$ : "$10$ est un nombre impair". Trouve la valeur de vérité de $P \land Q$, $P \lor Q$ et $P \land \neg Q$.

Trouve la valeur de chaque proposition simple: $7$ n'a que les diviseurs $1$ et $7$, donc $P$ est vraie. $10$ est pair, donc $Q$ est fausse = $P = 1$, $Q = 0$

Calcule $P \land Q$: $1 \land 0$ : ET demande que les deux parties soient vraies = $0$ (faux)

Calcule $P \lor Q$: $1 \lor 0$ : OU demande au moins une partie vraie = $1$ (vrai)

Calcule $P \land \neg Q$: D'abord $\neg Q = \neg 0 = 1$, puis $1 \land 1$ = $1$ (vrai)

Answer: $P \land Q$ est fausse, $P \lor Q$ est vraie et $P \land \neg Q$ est vraie : $7$ est premier et $10$ n'est pas impair.

Où se trouve le NON ?

Soit $P$ : "$3 > 5$" et $Q$ : "$2 + 2 = 4$". Compare les valeurs de vérité de $\neg(P \lor Q)$ et de $\neg P \lor Q$.

Trouve les valeurs des parties: $3 > 5$ est faux et $2 + 2 = 4$ est vrai = $P = 0$, $Q = 1$

Calcule d'abord la parenthèse: $P \lor Q = 0 \lor 1$ = $1$

Nie toute la parenthèse: $\neg(P \lor Q) = \neg 1$ = $0$

Calcule maintenant $\neg P \lor Q$: Ici NON ne porte que sur $P$ : $\neg 0 \lor 1 = 1 \lor 1$ = $1$

Answer: $\neg(P \lor Q)$ est fausse, mais $\neg P \lor Q$ est vraie. Les parenthèses décident sur quoi porte le NON : sur toute la proposition ou seulement sur $P$.

Nier une proposition composée en mots

Nie la proposition "Tom joue au football et Tom joue aux échecs". Dans quels cas la négation est-elle vraie ?

Écris la proposition en symboles: $F$ : Tom joue au football, $C$ : Tom joue aux échecs = $F \land C$

Nie toute la proposition: Place *il est faux que* devant : il est faux que Tom joue à la fois au football et aux échecs = $\neg(F \land C)$

Vérifie les quatre cas: $F \land C$ vaut 1 seulement quand $F = 1$ et $C = 1$, donc $\neg(F \land C)$ vaut 1 dans les trois autres cas = Vraie dans 3 des 4 cas

Dis-le avec des mots simples: La négation est vraie dès qu'au moins une des deux activités manque = Tom ne fait pas les deux

Answer: La négation est : il est faux que Tom joue à la fois au football et aux échecs, donc au moins une des deux activités manque. Ce n'est pas "Tom ne joue ni au football ni aux échecs" : cette phrase est vraie dans 1 seul cas, pas dans 3.

Trois parties, huit cas

Un club te laisse entrer si tu es membre, ou si tu as un billet et que tu as plus de 16 ans. Avec $M$ : tu es membre, $T$ : tu as un billet, $A$ : tu as plus de 16 ans, la règle est $M \lor (T \land A)$. Dans combien des 8 cas peux-tu entrer ?

Compte les cas: 3 propositions simples, chacune vaut 0 ou 1 = $2^3 = 8$ cas

Liste les cas dans l'ordre: $M$, $T$, $A$ : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 = 8 lignes, en commençant par 0

Colonne $T \land A$: Vraie seulement quand $T = 1$ et $A = 1$ : cas 011 et 111 = 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

Colonne $M \lor (T \land A)$: Vraie quand $M = 1$ (cas 100 à 111) ou quand $T \land A = 1$ (le cas 011 en ajoute un) = 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

Compte les cas vrais: 4 cas avec $M = 1$ plus 1 cas sans être membre = 5 cas

Answer: Tu entres dans 5 des 8 cas : toujours en tant que membre, et sans être membre seulement avec un billet et si tu as plus de 16 ans.

Mistake: Penser que "$P$ ou $Q$" est fausse quand les deux parties sont vraies

Why: Dans la vie courante, *ou* veut souvent dire l'un ou l'autre, mais pas les deux. En logique, OU est inclusif : $1 \lor 1 = 1$.

Correct: $P \lor Q$ n'est fausse que si les deux parties sont fausses. Pour l'un mais pas les deux, il existe un autre opérateur : le OU exclusif (XOR).

Mistake: Nier "J'aime le thé et le café" en "Je n'aime ni le thé ni le café"

Why: *Ni ... ni* n'est vrai que si les deux parties sont fausses (1 cas). La négation d'une proposition avec ET doit être vraie dès qu'au moins une partie est fausse (3 cas).

Correct: Dis "Il est faux que j'aime à la fois le thé et le café" : il y a au moins l'un des deux que je n'aime pas. La règle générale (lois de De Morgan) arrive dans la leçon Algèbre de Boole.

Mistake: Lire $\neg P \land Q$ comme si c'était $\neg(P \land Q)$

Why: Sans parenthèses, NON ne porte que sur la proposition qui le suit directement. Pour $P = 0$ et $Q = 0$ : $\neg P \land Q = 1 \land 0 = 0$, mais $\neg(P \land Q) = \neg 0 = 1$.

Correct: Vérifie sur quoi porte le NON. Mets des parenthèses quand le NON doit s'appliquer à toute la proposition composée.

Mistake: Ne pas reconnaître *mais* comme un ET

Why: "Le contrôle était difficile mais je l'ai réussi" ressemble à une opposition, pourtant les deux parties sont affirmées comme vraies.

Correct: Traduis *mais*, *bien que* et *à la fois ... et* par ET : $H \land S$ (contrôle difficile ET réussi).

Filtres des boutiques en ligne

Les boutiques et les moteurs de recherche combinent des conditions avec ET, OU et NON pour décider quels articles tu vois.

Le filtre (noir OU bleu) ET NON d'occasion ne montre que des articles neufs, dans l'une des deux couleurs.

Règles de jeu dans le code

Les jeux vidéo et les applications vérifient des conditions composées plusieurs fois par seconde pour décider de la suite.

Une porte s'ouvre si (clé ET NON alarme). Avec la clé et sans alarme : $1 \land \neg 0 = 1 \land 1 = 1$, donc la porte s'ouvre.

Règles et panneaux

Les règles sur les panneaux, les billets et dans les contrats sont des propositions composées, et il est souvent important de savoir exactement quand une règle n'est PAS respectée.

"Stationnement gratuit le dimanche ou après 20 h" s'applique un dimanche à midi, un lundi à 21 h, et aussi un dimanche à 21 h.

Q: Est-ce que "soit ... soit" veut dire OU ?

A: Pas toujours. L'opérateur OU est toujours inclusif : il est aussi vrai quand les deux parties sont vraies. Dans la vie courante, *soit ... soit* suggère souvent l'un mais pas les deux. Quand une phrase veut clairement dire l'un mais pas les deux, écris-la avec le OU exclusif (XOR) : $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$. Sinon, lis-la comme un OU.

Q: Ai-je toujours besoin de parenthèses ?

A: Avec deux parties et un seul opérateur, non. Dès que ET et OU apparaissent ensemble, ou qu'un NON doit porter sur plus d'une proposition, les parenthèses rendent le sens clair. Les règles pour lire une proposition sans parenthèses (NON avant ET avant OU) arrivent dans la leçon Expressions booléennes.

Q: Puis-je utiliser une calculatrice pour les valeurs de vérité ?

A: En partie. Avec 1 et 0, ET fonctionne comme une multiplication ($1 \times 0 = 0$, $1 \times 1 = 1$) et NON $P$ est égal à $1 - P$. La calculatrice de cette leçon ne connaît pas les mots ET, OU et NON, alors utilise-la pour ces produits et pour compter des cas comme $2^3$.

Q: Pourquoi une question ne peut-elle pas faire partie d'une proposition composée ?

A: Une proposition doit être soit vraie, soit fausse. Une question comme "Est-ce qu'il pleut ?" ou un ordre comme "Ferme la porte !" n'a pas de valeur de vérité, donc ne peut pas en être une partie.