Lire les tables des portes

Les entrées sont $A = 1$ et $B = 0$. Trouve la sortie d'une porte ET, OU, XOR, NAND et NOR.

Porte ET: ET demande que les deux entrées vaillent 1, mais $B = 0$ = ET : $0$

Porte OU: OU demande au moins un 1, et $A = 1$ = OU : $1$

Porte XOR: Les entrées $1$ et $0$ sont différentes = XOR : $1$

Porte NAND: NAND est le contraire de ET : ET a donné $0$, on l'inverse = NAND : $1$

Porte NOR: NOR est le contraire de OU : OU a donné $1$, on l'inverse = NOR : $0$

Answer: ET $= 0$, OU $= 1$, XOR $= 1$, NAND $= 1$, NOR $= 0$. NAND et NOR sont toujours le contraire de ET et de OU.

ET suivi de NON

$A$ et $B$ entrent dans une porte ET, et sa sortie entre dans une porte NON. Trouve la sortie $Y$ pour les quatre lignes d'entrée. Quelle porte unique fait le même travail ?

Écrire les lignes d'entrée: Commence par $0, 0$ : les lignes sont $00$, $01$, $10$, $11$ = 4 lignes

Sortie de la porte ET: ET vaut 1 seulement si les deux entrées valent 1 = ET : $0, 0, 0, 1$

Sortie de la porte NON: Inverse chaque valeur de la colonne ET = $Y$ : $1, 1, 1, 0$

Comparer avec la table des portes: La colonne $1, 1, 1, 0$ est la colonne NAND = $Y = \overline{A \cdot B}$

Answer: La sortie est $1, 1, 1, 0$ : ET suivi de NON se comporte exactement comme une porte NAND. C'est de là que vient le nom NON-ET.

Suivre un circuit à trois portes

$A$ et $B$ entrent dans une porte OU. $B$ et $C$ entrent dans une porte ET. Les deux sorties entrent dans une porte XOR, qui donne $Y$. Trouve $Y$ pour $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Première porte : OU de $A$ et $B$: $0 \lor 1$ : au moins une entrée vaut 1 = Sortie OU $= 1$

Deuxième porte : ET de $B$ et $C$: $1 \land 0$ : les entrées ne valent pas toutes les deux 1 = Sortie ET $= 0$

Dernière porte : XOR des deux sorties: La porte XOR reçoit $1$ et $0$, qui sont différents = $Y = 1$

Vérifier avec l'expression: $Y = (A \lor B) \oplus (B \land C) = 1 \oplus 0$ = $Y = 1$

Answer: $Y = 1$. La dernière porte ne voit jamais directement $A$, $B$ et $C$ : elle voit seulement les sorties des deux premières portes.

Du circuit à l'expression booléenne

$A$ passe par une porte NON. Sa sortie et $B$ entrent dans une porte ET. Cette sortie et $C$ entrent dans une porte OU, qui donne $Y$. Écris l'expression booléenne du circuit et trouve $Y$ pour $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$.

Nommer la sortie de la porte NON: La porte NON inverse $A$ = $\neg A$

Nommer la sortie de la porte ET: Ses entrées sont $\neg A$ et $B$ = $\neg A \land B$

Nommer la sortie de la porte OU: Ses entrées sont $\neg A \land B$ et $C$ = $Y = (\neg A \land B) \lor C$

Évaluer pour $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$: $\neg A = 0$, puis $0 \land 1 = 0$, puis $0 \lor 0 = 0$ = $Y = 0$

Answer: $Y = (\neg A \land B) \lor C$, que les ingénieurs écrivent $Y = \overline{A} \cdot B + C$. Pour $A = 1$, $B = 1$, $C = 0$, la sortie est $Y = 0$.

Le demi-additionneur

Un ordinateur additionne deux chiffres binaires $A$ et $B$. Le résultat a un chiffre de somme $S$ et un chiffre de retenue $C$ (par exemple $1 + 1 = 10$ en binaire : $C = 1$, $S = 0$). Quelles portes produisent $S$ et $C$ ?

Écrire les quatre additions en binaire: $0 + 0 = 00$, $0 + 1 = 01$, $1 + 0 = 01$, $1 + 1 = 10$ = Résultats : 00, 01, 01, 10

Lire la colonne de somme $S$ (chiffre de droite): $S$ : $0, 1, 1, 0$, qui vaut 1 seulement si les entrées sont différentes = $S = A \oplus B$ (XOR)

Lire la colonne de retenue $C$ (chiffre de gauche): $C$ : $0, 0, 0, 1$, qui vaut 1 seulement si les deux entrées valent 1 = $C = A \land B$ (ET)

Vérifier $1 + 1$: $S = 1 \oplus 1 = 0$ et $C = 1 \land 1 = 1$, donc le résultat est $10$ en binaire = $10_2 = 2$ ✓

Answer: $S = A \oplus B$ et $C = A \land B$. Une porte XOR et une porte ET forment un **demi-additionneur**, la première brique de toute calculatrice et de tout ordinateur.

Mistake: Croire qu'une porte OU donne $0$ quand les deux entrées valent $1$

Why: Ça, c'est la porte XOR. OU vaut 1 si au moins une entrée vaut 1, et cela inclut le cas où les deux valent 1.

Correct: OU : $1 \lor 1 = 1$. XOR : $1 \oplus 1 = 0$. Seul XOR exige que les entrées soient différentes.

Mistake: Lire $A + B$ comme une addition ordinaire et écrire $1 + 1 = 2$

Why: Dans la notation des portes, $+$ veut dire OU, et la sortie d'une porte ne peut valoir que 0 ou 1.

Correct: Avec les portes, $1 + 1 = 1$ (OU). La valeur 2 n'apparaît que lorsqu'on additionne des nombres binaires, et elle s'écrit alors $10$ avec un chiffre de retenue.

Mistake: Prendre NAND pour NON A ET NON B, c'est-à-dire $\overline{A} \cdot \overline{B}$

Why: NAND inverse la sortie de ET, pas les entrées. Pour $A = 1$, $B = 0$ : NAND donne $\overline{1 \cdot 0} = 1$, mais $\overline{1} \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.

Correct: NAND $= \overline{A \cdot B}$ : d'abord ET, puis NON. La barre couvre tout le produit.

Mistake: Envoyer les entrées de départ dans la dernière porte d'un circuit

Why: Dans un circuit, chaque porte reçoit seulement les fils qui lui sont reliés. La dernière porte reçoit en général les sorties des portes précédentes, pas A, B et C.

Correct: Va des entrées vers la sortie, écris la sortie de chaque porte à côté d'elle et utilise ces valeurs pour la porte suivante.

Les alarmes

Une alarme de maison est un petit circuit logique : les capteurs donnent 1 ou 0, les portes décident si la sirène reçoit 1.

Avec l'interrupteur d'activation $A$, le capteur de la porte d'entrée $D$ et le capteur de fenêtre $W$, l'alarme sonne quand $Y = A \land (D \lor W) = 1$.

Additionner dans une puce

Chaque addition d'un ordinateur est construite avec des demi-additionneurs et des additionneurs complets faits de portes.

Un demi-additionneur calcule le chiffre de somme $S = A \oplus B$ et le chiffre de retenue $C = A \land B$ de deux chiffres binaires.

Construire des puces avec des portes NAND

Les fabricants de puces aiment les portes NAND, car on peut construire toutes les autres portes avec des NAND seulement.

Relie les deux entrées d'une porte NAND au même signal $A$ : la sortie vaut $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$, elle fonctionne donc comme une porte NON.

Q: Pourquoi les portes utilisent-elles 1 et 0 au lieu de vrai et faux ?

A: Dans une puce, il n'y a que des tensions. Une tension haute représente 1 (vrai) et une tension basse 0 (faux). N'utiliser que deux niveaux rend les circuits rapides et fiables, car un signal un peu plus faible se lit encore clairement comme 1.

Q: Quelle est la différence entre OU et XOR ?

A: Elles ne diffèrent que sur une ligne : quand les deux entrées valent 1. OU donne $1$ (au moins une est allumée), XOR donne $0$ (les entrées ne sont pas différentes). XOR, c'est la porte soit l'un, soit l'autre, mais pas les deux.

Q: Pourquoi les portes NAND sont-elles si utilisées ?

A: On peut construire toutes les autres portes uniquement avec des NAND. Par exemple, une NAND dont les deux entrées sont reliées est une porte NON. Une usine peut donc fabriquer des puces avec un seul type de porte. Tu verras l'algèbre qui l'explique dans la leçon Algèbre de Boole.

Q: Puis-je vérifier les portes avec l'arithmétique ordinaire ?

A: Oui, avec 0 et 1 : ET vaut $A \times B$, NON vaut $1 - A$, OU vaut $A + B - A \times B$ et XOR vaut $A + B - 2 \times A \times B$. Par exemple, OU pour $1, 1$ donne $1 + 1 - 1 = 1$. Essaie dans la calculatrice.