Inverser une valeur de vérité

Soit $P$ = "7 est un nombre pair". Trouve les valeurs de vérité de $P$, $\neg P$ et $\neg(\neg P)$.

Évalue P: 7 est impair, donc la proposition "7 est un nombre pair" est **fausse** = P = F

Écris la négation en mots: $\neg P$ = "7 n'est pas un nombre pair" = ¬P en mots

Applique NON: $\neg P = \neg F = V$ = ¬P = V

Applique NON une deuxième fois: $\neg(\neg P) = \neg V = F$, c'est la même valeur que P = ¬(¬P) = F

Answer: P est fausse, ¬P est vraie, et ¬(¬P) est de nouveau fausse. Deux NON s'annulent : ¬(¬P) = P.

Nier une phrase en français

Écris la négation de "Anna a un vélo." et de "Anna est à la maison."

Trouve le verbe de la première phrase: Dans "Anna a un vélo", le verbe est a (du verbe avoir) = Verbe : a

Nie à la française: En français, la négation entoure le verbe : ne ... pas. Après une négation, un devient de : un vélo devient de vélo. "Anna pas a un vélo" est faux = Anna n'a pas de vélo.

Nie la deuxième phrase: Même règle : ne ... pas autour du verbe est, et ne devient n' devant une voyelle = Anna n'est pas à la maison.

Vérifie les valeurs de vérité: Si "Anna a un vélo" est vraie, alors "Anna n'a pas de vélo" est fausse, et inversement = Exactement une est vraie

Answer: "Anna n'a pas de vélo." et "Anna n'est pas à la maison." Nier, ce n'est pas seulement ajouter un mot : suis la grammaire de ta langue.

Nier une phrase avec "tous"

Écris la négation de "Tous les élèves ont réussi le contrôle."

Comprends l'affirmation: La phrase dit que chaque élève, sans exception, a réussi = Affirmation : chacun a réussi

Demande-toi ce qui la rend fausse: Un seul élève qui a échoué suffit déjà pour que l'affirmation soit fausse = Au moins un a échoué

Écris la négation: "Les élèves n'ont pas tous réussi le contrôle", autrement dit "Au moins un élève n'a pas réussi le contrôle" = Ils n'ont pas tous réussi.

Écarte la fausse réponse tentante: "Aucun élève n'a réussi" est trop fort : si 20 ont réussi et 1 a échoué, l'affirmation et cette phrase sont fausses toutes les deux = Pas une négation

Answer: "Les élèves n'ont pas tous réussi le contrôle" (au moins un élève n'a pas réussi). La négation de "tous" est "pas tous", pas "aucun".

NON avec ET

P = "Il pleut" est vraie et Q = "Il fait froid" est fausse. Calcule $\neg P \land Q$ et $\neg(P \land Q)$.

NON s'applique seulement à ce qui le suit directement: Dans $\neg P \land Q$, seule P est niée : $\neg P = \neg V = F$ = ¬P = F

Termine la première expression: $\neg P \land Q = F \land F = F$ = ¬P ∧ Q = F

Deuxième expression : d'abord la parenthèse: $P \land Q = V \land F = F$ = P ∧ Q = F

Nie maintenant toute la parenthèse: $\neg(P \land Q) = \neg F = V$ = ¬(P ∧ Q) = V

Answer: $\neg P \land Q$ est fausse, mais $\neg(P \land Q)$ est vraie. Les parenthèses décident sur quoi porte le NON !

Un premier regard sur De Morgan

Vérifie que $\neg(P \vee Q)$ et $\neg P \land \neg Q$ ont la même valeur pour tous les choix de P et Q.

Membre de gauche pour P = V, Q = F: $\neg(V \vee F) = \neg V = F$ = F

Membre de droite pour P = V, Q = F: $\neg V \land \neg F = F \land V = F$ = F, pareil

Les deux membres pour P = F, Q = F: $\neg(F \vee F) = \neg F = V$ et $\neg F \land \neg F = V \land V = V$ = V, pareil

Les deux cas restants: P = V, Q = V : $\neg V = F$ et $F \land F = F$. P = F, Q = V : $\neg V = F$ et $V \land F = F$ = F, pareil

Answer: Les deux membres sont toujours égaux, donc $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. "Je ne veux ni thé ni café" signifie "Je ne veux pas de thé ET je ne veux pas de café". C'est l'une des lois de De Morgan.

Mistake: Nier "Tous les chats sont noirs" par "Aucun chat n'est noir"

Why: Les deux phrases peuvent être fausses en même temps (certains chats sont noirs, d'autres non), donc la deuxième n'est pas la négation de la première.

Correct: La négation est "Les chats ne sont pas tous noirs", c'est-à-dire "Au moins un chat n'est pas noir".

Mistake: Écrire la négation de $x > 5$ sous la forme $x < 5$

Why: On oublie le cas $x = 5$. Pour $x = 5$, $x > 5$ et $x < 5$ sont faux tous les deux.

Correct: $\neg(x > 5)$ est $x \leq 5$ : tous les nombres qui ne sont pas supérieurs à 5.

Mistake: Faire entrer NON dans une parenthèse sans changer ET/OU : $\neg(P \land Q) = \neg P \land \neg Q$

Why: Teste avec P = V, Q = F : $\neg(V \land F) = \neg F = V$, mais $\neg V \land \neg F = F \land V = F$. Les deux membres sont différents.

Correct: Quand NON entre dans la parenthèse, ET devient OU : $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$.

Mistake: Croire que "non non" reste une négation

Why: Dans certaines langues, une double négation à l'oral n'est qu'une seule négation renforcée (espagnol "No veo nada", italien "Non vedo niente"). En logique, au contraire, chaque NON compte.

Correct: Deux NON s'annulent : $\neg(\neg P) = P$. "Il est faux que le magasin ne soit pas ouvert" signifie que le magasin est ouvert.

Programmation et applications

Les programmeurs écrivent ! devant une condition pour qu'un code ne s'exécute que lorsque cette condition est fausse.

Une application de devoirs utilise la règle !fait : elle affiche un rappel seulement si les devoirs ne sont PAS faits.

Les portes NON en électronique

Une porte NON (aussi appelée inverseur) a une entrée et une sortie. Elle donne toujours le signal inverse.

Une veilleuse utilise un capteur de lumière qui envoie 1 quand il fait clair. Après une porte NON, la lampe reçoit 1 seulement quand il fait sombre.

Règles de magasin et filtres de recherche

Les règles et les recherches excluent souvent quelque chose avec ET NON : le résultat doit correspondre à une chose, mais pas à une autre.

Une recherche pizza AND NOT ananas affiche les pages sur la pizza, sauf celles qui parlent d'ananas.

Q: Pourquoi NON n'a-t-il qu'une seule entrée alors que ET et OU en ont deux ?

A: ET et OU relient deux propositions, alors que NON change simplement la valeur de vérité d'une seule proposition. C'est pourquoi la table de vérité de NON n'a que deux lignes : P = V et P = F.

Q: Est-ce que "pas content" veut dire la même chose que "triste" ?

A: Non. "Pas content" est la négation et couvre tout ce qui n'est pas content : triste, ennuyé, calme, etc. "Triste" n'est qu'une de ces possibilités. Une négation est vraie exactement quand la proposition de départ est fausse.

Q: Quelle est la négation de "$x > 5$" ?

A: C'est $x \leq 5$. Chaque nombre est soit supérieur à 5, soit non, et "pas supérieur à 5" inclut le nombre 5 lui-même.

Q: Que sont les lois de De Morgan ?

A: Elles expliquent comment NON entre dans une parenthèse : $\neg(P \land Q) = \neg P \vee \neg Q$ et $\neg(P \vee Q) = \neg P \land \neg Q$. ET devient OU et OU devient ET. Tu les vérifieras ligne par ligne dans la leçon sur les tables de vérité.