Réciproque et inverse

Tout **énoncé conditionnel** (implication) a la forme $p \to q$ : **si** $p$ (l'hypothèse), **alors** $q$ (la conclusion). À partir de lui, on peut construire deux nouveaux énoncés : - La **réciproque** échange les deux parties : $q \to p$ (si $q$, alors $p$). - L'**inverse** nie les deux parties : $\neg p \to \neg q$ (si non $p$, alors non $q$). **Exemple :** Énoncé de départ : Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair. - Réciproque : Si un nombre est pair, alors il est divisible par 4. (Faux : 6 est pair, mais $6 \div 4 = 1{,}5$.) - Inverse : Si un nombre n'est pas divisible par 4, alors il n'est pas pair. (Faux : encore 6.) La table de vérité montre que la réciproque et l'inverse ne correspondent **pas** toujours à l'énoncé de départ, mais qu'ils correspondent toujours **l'un à l'autre** : $$\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & p \to q & q \to p & \neg p \to \neg q \\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} \\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V} \end{array}$$ L'ordre des lignes n'a pas d'importance : la table interactive ci-dessous commence par la ligne où $p$ et $q$ sont faux tous les deux, et chaque ligne garde les mêmes valeurs. Pour montrer qu'un énoncé est faux, un seul **contre-exemple** suffit. Quand un énoncé et sa réciproque sont **tous les deux** vrais, on les réunit en une **équivalence** (biconditionnel) : $p \leftrightarrow q$, qui se lit $p$ **si et seulement si** $q$.

Former la réciproque

Énoncé : Si une figure est un carré, alors elle a quatre côtés. Écris la réciproque et dis si elle est vraie.

Repérer l'hypothèse et la conclusion: $p$ : une figure est un carré. $q$ : elle a quatre côtés. = Énoncé : $p \to q$ (vrai)

Échanger les deux parties: $q \to p$ : Si une figure a quatre côtés, alors c'est un carré. = C'est la réciproque

Chercher un contre-exemple: Un rectangle de 5 cm sur 3 cm a quatre côtés, mais ce n'est pas un carré. = La réciproque est fausse

Answer: Réciproque : Si une figure a quatre côtés, alors c'est un carré. Elle est fausse, car un rectangle de 5 cm sur 3 cm est un contre-exemple.

Former l'inverse

Énoncé : Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair. Écris l'inverse et teste-le avec le nombre 6.

Nier l'hypothèse: non $p$ : un nombre n'est pas divisible par 4 = $\neg p$

Nier la conclusion: non $q$ : il n'est pas pair = $\neg q$

Écrire l'inverse: Si un nombre n'est pas divisible par 4, alors il n'est pas pair. = $\neg p \to \neg q$

Tester avec 6: $6 \div 4 = 1{,}5$, donc 6 n'est pas divisible par 4, mais $6 \div 2 = 3$, donc 6 est pair. = L'inverse est faux

Answer: Inverse : Si un nombre n'est pas divisible par 4, alors il n'est pas pair. Il est faux : 6 n'est pas divisible par 4 et pourtant 6 est pair.

Un contre-exemple pour les deux

Énoncé : Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$. Trouve la valeur de vérité de l'énoncé, de sa réciproque et de son inverse.

Vérifier l'énoncé: Si $x = 3$, alors $x^2 = 3 \times 3 = 9$. = Énoncé : vrai

Écrire et tester la réciproque: Si $x^2 = 9$, alors $x = 3$. Essaie $x = -3$ : $(-3)^2 = 9$, mais $-3 \neq 3$. = Réciproque : fausse

Écrire et tester l'inverse: Si $x \neq 3$, alors $x^2 \neq 9$. Essaie $x = -3$ : $-3 \neq 3$, mais $(-3)^2 = 9$. = Inverse : faux

Comparer: Le même nombre $-3$ met en défaut la réciproque et l'inverse. = Réciproque et inverse concordent

Answer: L'énoncé est vrai, tandis que la réciproque et l'inverse sont tous deux faux. Le contre-exemple $x = -3$ fonctionne pour les deux.

Quand les deux sens sont vrais

Énoncé : Si un angle mesure $90^\circ$, alors c'est un angle droit. Peux-tu l'écrire sous forme d'équivalence ?

Vérifier l'énoncé: Tout angle de $90^\circ$ est un angle droit par définition. = Énoncé : vrai

Écrire la réciproque: Si un angle est un angle droit, alors il mesure $90^\circ$. = Réciproque : $q \to p$

Vérifier la réciproque: Tout angle droit mesure exactement $90^\circ$. Il n'y a aucun contre-exemple. = Réciproque : vraie

Réunir les deux sens: $p \to q$ et $q \to p$ sont vrais tous les deux, donc $p \leftrightarrow q$. = Équivalence

Answer: Oui : Un angle est un angle droit si et seulement s'il mesure $90^\circ$.

Énoncé faux, réciproque vraie

Énoncé : Si un nombre est un multiple de 3, alors c'est un multiple de 6. Trouve les valeurs de vérité de l'énoncé, de sa réciproque et de son inverse.

Tester l'énoncé: 9 est un multiple de 3, mais $9 \div 6 = 1{,}5$. = Énoncé : faux

Tester la réciproque: Si un nombre est un multiple de 6, alors c'est un multiple de 3. Tout multiple de 6 s'écrit $6k = 3 \times 2k$. = Réciproque : vraie

Tester l'inverse: Si un nombre n'est pas un multiple de 3, alors ce n'est pas un multiple de 6. Un multiple de 6 serait aussi un multiple de 3, donc ce n'est jamais mis en défaut. = Inverse : vrai

Conclure: La valeur de vérité de l'énoncé ne dit rien sur sa réciproque. = Chaque énoncé doit être vérifié

Answer: L'énoncé est faux (contre-exemple 9), alors que la réciproque et l'inverse sont tous deux vrais.

Confondre un énoncé et sa réciproque est l'une des erreurs de raisonnement les plus fréquentes : - **Mathématiques** : qu'un théorème soit vrai ne rend pas sa réciproque vraie. Le théorème de Pythagore et sa réciproque se démontrent séparément. - **Définitions** : une bonne définition est une équivalence. Elle doit fonctionner dans les deux sens. - **Publicité** : si tu prends l'abonnement premium, tu as un service plus rapide. Cela ne veut pas dire que tous ceux qui ont un service rapide ont pris l'abonnement premium. - **Programmation** : si x est divisible par 6, alors x est pair. Un programme ne doit pas supposer le sens contraire : 8 est pair mais n'est pas divisible par 6. - **Vie quotidienne** : s'il pleut, la rue est mouillée. Une rue mouillée ne prouve pas qu'il a plu, une balayeuse est peut-être passée. Repérer une réciproque fausse grâce à un contre-exemple est une compétence que tu utiliseras dans chaque démonstration.

Mistake: Croire que la réciproque est vraie parce que l'énoncé est vrai

Why: Échanger l'hypothèse et la conclusion crée un nouvel énoncé avec sa propre valeur de vérité. Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$ est vrai, mais si $x^2 = 9$, alors $x = 3$ est faux.

Correct: Teste toujours la réciproque à part et cherche un contre-exemple, ici $x = -3$.

Mistake: Confondre la réciproque et l'inverse

Why: Les deux sont construits avec les mêmes deux parties, donc ils se ressemblent. La réciproque change l'ordre, l'inverse ajoute deux négations.

Correct: Réciproque = échanger : $q \to p$. Inverse = nier les deux : $\neg p \to \neg q$.

Mistake: Ne nier qu'une seule partie pour former l'inverse

Why: Écrire $\neg p \to q$ (si ce n'est pas un carré, alors quatre côtés) ne donne pas l'inverse. C'est un énoncé complètement différent.

Correct: Mets non devant l'hypothèse **et** devant la conclusion : si ce n'est pas un carré, alors pas quatre côtés.

Mistake: Prendre un exemple qui marche comme preuve que la réciproque est vraie

Why: Pour si $x^2 = 9$, alors $x = 3$, l'exemple $x = 3$ marche, mais $x = -3$ non. Des exemples qui marchent ne prouvent jamais un énoncé général.

Correct: Un contre-exemple prouve qu'un énoncé est faux. Pour prouver qu'il est vrai, il faut un raisonnement qui couvre tous les cas.

Promotions en boutique

Les boutiques énoncent leurs règles sous forme d'implications. Les clients les lisent souvent à l'envers, et c'est exactement la réciproque.

Règle : Si ta commande dépasse 50 €, alors la livraison est gratuite. Réciproque : Si la livraison est gratuite, alors ta commande dépassait 50 €. Un code membre peut aussi offrir la livraison, donc la réciproque peut être fausse.

Vérifier les règles d'un programme

Les programmeurs écrivent des conditions comme si n est divisible par 6, alors n est pair. Inverser le sens d'une telle condition est un bug classique.

Un programme n'accepte que les nombres divisibles par 6 et les marque comme pairs. Un programmeur inverse le test et accepte tout nombre pair comme divisible par 6. Le nombre 8 passe alors par erreur.

De bonnes définitions

Les dictionnaires et les manuels de maths écrivent des définitions qui fonctionnent dans les deux sens. Une définition est une équivalence, un énoncé si et seulement si.

Un triangle est rectangle si et seulement s'il a un angle de $90^\circ$. Tout triangle rectangle a un angle de $90^\circ$, et tout triangle qui a un angle de $90^\circ$ est rectangle.

Une implication a la forme $p \to q$ : si $p$, alors $q$

La réciproque échange les parties : $q \to p$

L'inverse nie les deux parties : $\neg p \to \neg q$

Un énoncé vrai peut avoir une réciproque fausse et un inverse faux, par exemple si $x = 3$, alors $x^2 = 9$

La réciproque et l'inverse ont toujours la même valeur de vérité, et un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'un énoncé est faux

Quand un énoncé et sa réciproque sont vrais tous les deux, ils forment une équivalence $p \leftrightarrow q$ (si et seulement si)

Q: Si l'énoncé est vrai, la réciproque peut-elle être vraie aussi ?

A: Parfois. Si un angle mesure $90^\circ$, alors c'est un angle droit, et la réciproque est vraie aussi. Mais tu dois toujours la vérifier à part, elle ne découle jamais automatiquement de l'énoncé.

Q: Pourquoi la réciproque et l'inverse ont-ils toujours la même valeur de vérité ?

A: Regarde la table de vérité : les colonnes de $q \to p$ et de $\neg p \to \neg q$ sont identiques sur les quatre lignes. Dans la prochaine leçon, tu verras pourquoi : chacun de ces deux énoncés est la contraposée de l'autre.

Q: Que veut dire si et seulement si ?

A: Cela veut dire que les deux sens sont vrais : $p \to q$ et $q \to p$. On écrit $p \leftrightarrow q$. Par exemple, $x + 4 = 10$ si et seulement si $x = 6$.

Q: Combien de contre-exemples me faut-il ?

A: Un seul. Un seul cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse montre que tout l'énoncé est faux.

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Réciproque et inverse

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Logique & Ensembles / Raisonnement logique

Réciproque et inverse

Apprends à former la réciproque et l'inverse d'une implication et découvre pourquoi un énoncé vrai peut avoir une réciproque fausse.

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