Des deux colonnes au texte rédigé

Une démonstration en deux colonnes montre : on sait que $3x + 5 = 20$, démontrer que $x = 5$. Ses lignes sont (1) $3x + 5 = 20$, hypothèse ; (2) $3x = 15$, propriété de l'égalité (soustraction) ; (3) $x = 5$, propriété de l'égalité (division). Réécris-la sous forme rédigée.

Transforme la première ligne en phrase d'introduction: La ligne 1 est l'hypothèse, donc le texte commence par : *On sait que $3x + 5 = 20$.* = Phrase d'introduction écrite

Relie la ligne 2 à sa justification: *En soustrayant 5 aux deux membres, on obtient $3x = 15$ d'après la propriété de l'égalité pour la soustraction.* = $3x = 15$

Relie la ligne 3 à sa justification: *En divisant les deux membres par 3, on obtient $x = 5$ d'après la propriété de l'égalité pour la division.* = $x = 5$

Énonce la conclusion: *Donc $x = 5$.* Le mot donc marque la conclusion, la dernière ligne du tableau. = Démonstration rédigée terminée

Answer: On sait que $3x + 5 = 20$. En soustrayant 5 aux deux membres, on obtient $3x = 15$ d'après la propriété de l'égalité pour la soustraction. En divisant les deux membres par 3, on obtient $x = 5$ d'après la propriété de l'égalité pour la division. Donc $x = 5$. CQFD

La somme de deux entiers impairs est paire

Rédige une démonstration : si $a$ et $b$ sont des entiers impairs, alors $a + b$ est pair.

Nomme les objets avec des lettres différentes: Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs. Puisqu'ils sont impairs, $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ pour des entiers $m$ et $n$. = $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$

Additionne et simplifie: Donc $a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2$. = $a + b = 2m + 2n + 2$

Factorise par 2: On en déduit que $a + b = 2(m + n + 1)$. = $a + b = 2(m + n + 1)$

Justifie la conclusion: Comme $m + n + 1$ est un entier (somme d'entiers), $a + b$ est le double d'un entier, donc il est pair par définition d'un nombre pair. = $a + b$ est pair

Answer: Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs. Puisqu'ils sont impairs, $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$ pour des entiers $m$ et $n$. Alors $a + b = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)$. Comme $m + n + 1$ est un entier, $a + b$ est pair par définition d'un nombre pair. CQFD

Trois entiers consécutifs

Démontre en rédigeant : la somme de trois entiers consécutifs quelconques est divisible par 3. Vérifie ensuite le résultat avec $14 + 15 + 16$.

Nomme les trois entiers: Soit $n$ le plus petit entier. Puisque les entiers sont consécutifs, les deux autres sont $n + 1$ et $n + 2$. = $n$, $n + 1$, $n + 2$

Additionne-les: Leur somme vaut $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$. = $3n + 3$

Factorise et conclus: Donc la somme vaut $3(n + 1)$. Comme $n + 1$ est un entier, la somme est le triple d'un entier, par conséquent elle est divisible par 3. = Somme $= 3(n + 1)$

Vérifie sur un exemple (ne fait pas partie de la démonstration): Pour $14, 15, 16$, on a $n = 14$, donc la somme doit valoir $3 \times 15 = 45$. En effet, $14 + 15 + 16 = 45$. = $45 = 3 \times 15$

Answer: Soient les entiers $n$, $n + 1$ et $n + 2$. Leur somme vaut $3n + 3 = 3(n + 1)$, et puisque $n + 1$ est un entier, la somme est divisible par 3. Bonus tiré de la démonstration : la somme vaut toujours le triple du nombre du milieu. CQFD

Les angles opposés par le sommet sont égaux

Deux droites sécantes forment quatre angles $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$, dans l'ordre autour du point, donc $\angle 1$ et $\angle 3$ sont opposés par le sommet. Rédige une démonstration de $\angle 1 = \angle 3$ (la leçon Démonstrations en deux colonnes démontre le même théorème sous forme de tableau).

Utilise la première paire d'angles adjacents supplémentaires: Puisque $\angle 1$ et $\angle 2$ forment ensemble un angle plat, ils sont adjacents supplémentaires, donc $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. = $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Utilise la deuxième paire: De même, $\angle 2$ et $\angle 3$ forment un angle plat, donc $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. = $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Combine les deux égalités: Les deux sommes valent $180^\circ$, donc par substitution $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$. = $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Soustrais et conclus: En soustrayant $\angle 2$ aux deux membres (propriété de l'égalité pour la soustraction), on obtient $\angle 1 = \angle 3$. Vérification : si $\angle 1 = 65^\circ$, alors $\angle 2 = 115^\circ$ et $\angle 3 = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. = $\angle 1 = \angle 3$

Answer: Les angles 1 et 2 sont adjacents supplémentaires, donc $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Les angles 2 et 3 le sont aussi, donc $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Par substitution, $\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$, et en soustrayant $\angle 2$ on obtient $\angle 1 = \angle 3$. Donc deux angles opposés par le sommet sont égaux. CQFD

Trouver la lacune

Un élève veut démontrer : le produit d'un entier pair par un entier quelconque est pair. Il écrit : *Soient $a = 2k$ et $b = 2k$. Alors $ab = 4k^2 = 2(2k^2)$, donc $ab$ est pair.* Trouve les lacunes et corrige la démonstration.

Lis ce que dit vraiment l'énoncé: L'énoncé parle d'un entier pair $a$ et d'un entier **quelconque** $b$, qui peut être impair et différent de $a$. = $b$ peut être n'importe quel entier

Vérifie chaque phrase: Écrire $b = 2k$ suppose deux choses jamais données : que $b$ est pair et que $b = a$ (même lettre $k$). La démonstration ne couvre que des produits comme $6 \times 6$, pas $6 \times 7$. = Lacune : $b = 2k$ n'est pas justifié

Corrige le début: Soient $a$ un entier pair et $b$ un entier quelconque. Puisque $a$ est pair, $a = 2k$ pour un entier $k$. On ne suppose rien sur $b$. = $a = 2k$, $b$ quelconque

Termine avec des justifications: Alors $ab = 2kb = 2(kb)$. Comme $kb$ est un entier (produit d'entiers), $ab$ est pair par définition. Vérification : $6 \times 7 = 42 = 2 \times 21$. = $ab = 2(kb)$ est pair

Answer: La démonstration d'origine a une lacune : elle suppose sans le dire que $b$ est pair et égal à $a$. Démonstration rédigée correcte : soient $a$ un entier pair et $b$ un entier quelconque. Puisque $a$ est pair, $a = 2k$ pour un entier $k$. Alors $ab = 2(kb)$, et comme $kb$ est un entier, $ab$ est pair. CQFD

Mistake: Écrire une suite d'égalités sans aucun mot

Why: Une liste comme $a = 2m + 1$, $a + b = 2(m + n + 1)$ ne dit ni d'où vient chaque ligne ni ce qu'elle prouve. Le lecteur doit deviner les justifications.

Correct: Associe une justification à chaque affirmation (*Puisque $a$ est impair, $a = 2m + 1$...*) et termine par une phrase qui énonce la conclusion.

Mistake: Utiliser la même lettre pour deux nombres différents

Why: Écrire $a = 2k + 1$ et $b = 2k + 1$ impose $a = b$, donc la démonstration ne couvre que des sommes comme $7 + 7$.

Correct: Donne à chaque objet sa propre variable : $a = 2m + 1$ et $b = 2n + 1$.

Mistake: Démontrer avec des exemples

Why: $3 + 5 = 8$ et $7 + 9 = 16$ sont pairs, mais quelques exemples ne peuvent jamais couvrir tous les nombres impairs.

Correct: Utilise des variables qui représentent tous les cas possibles. Les exemples servent seulement de vérification après la démonstration.

Mistake: Utiliser la conclusion comme justification

Why: Écrire *Puisque $a + b$ est pair, il vaut $2(m + n + 1)$* suppose exactement ce qu'on veut démontrer (raisonnement circulaire).

Correct: Les mots puisque et car ne peuvent renvoyer qu'à des faits déjà acquis : les hypothèses, les définitions, les propriétés ou les phrases précédentes.

Énigmes de calendrier

Trois jours côte à côte sur une ligne de calendrier sont des entiers consécutifs, donc la démonstration de cette leçon explique un tour de calcul classique.

Choisis 12, 13 et 14 : la somme vaut $39 = 3 \times 13$, le triple du jour du milieu.

Ciseaux et routes qui se croisent

Là où deux objets droits se croisent, comme les lames de ciseaux, deux routes ou les poutres d'une charpente, le théorème des angles opposés par le sommet permet de mesurer un angle et de connaître aussitôt l'angle opposé.

Si les lames de ciseaux ouverts forment un angle de $35^\circ$, les poignées forment aussi un angle de $35^\circ$.

Emballer par paires

Les magasins et les entrepôts emballent souvent les articles par deux. La démonstration qu'un nombre pair multiplié par un entier quelconque est pair indique quand une grille d'objets se partage en paires sans reste.

Une plaque de 8 rangées de 7 biscuits contient $56 = 2 \times 28$ biscuits, qui remplissent donc 28 sachets de deux.

Q: Une démonstration rédigée est-elle moins rigoureuse qu'une démonstration en deux colonnes ?

A: Non. Les deux formats contiennent la même logique. La démonstration rédigée n'est qu'une autre mise en page : chaque affirmation a toujours besoin d'une justification, simplement écrite dans la phrase et non dans une deuxième colonne.

Q: Quelle longueur doit avoir une démonstration rédigée ?

A: Assez longue pour qu'un camarade puisse suivre chaque étape sans demander pourquoi. Pour les démonstrations de cette leçon, 3 à 6 phrases suffisent en général. Un calcul simple, comme factoriser par 2, n'a pas besoin de sa propre phrase.

Q: Puis-je utiliser des exemples dans une démonstration rédigée ?

A: Seulement comme vérification, clairement séparée de la démonstration. Une phrase comme *par exemple, $3 + 5 = 8$* illustre l'idée, mais la démonstration elle-même doit utiliser des variables qui couvrent tous les cas.

Q: Quel mot de liaison dois-je utiliser ?

A: Utilise puisque ou car devant une justification, et donc, ainsi ou on en déduit que devant une nouvelle affirmation. Varie-les pour que le texte se lise naturellement, mais vérifie que chaque affirmation a une justification dans sa phrase.