Si n² est pair, alors n est pair

Démontre : pour tout entier $n$, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Écris la contraposée: Nie les deux parties et échange-les : "si $n$ n'est pas pair, alors $n^2$ n'est pas pair" = Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair

Suppose la conclusion niée: Suppose que $n$ est impair, donc $n = 2k + 1$ pour un entier $k$ = $n = 2k + 1$

Élève au carré et développe: $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ = $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Mets-le sous la forme 2m + 1: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, et $m = 2k^2 + 2k$ est un entier = $n^2$ est impair

Conclus: Nous avons démontré "$n$ impair $\Rightarrow$ $n^2$ impair", la contraposée de l'énoncé = Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair

Answer: La contraposée (si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair) est vraie, donc l'énoncé de départ est vrai. CQFD

Si n² est impair, alors n est impair

Démontre : pour tout entier $n$, si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.

Écris la contraposée: Pas impair signifie pair, pour la conclusion comme pour l'hypothèse = Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair

Suppose la conclusion niée: Suppose que $n$ est pair, donc $n = 2k$ pour un entier $k$ = $n = 2k$

Élève au carré: $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ = $n^2 = 2(2k^2)$

Conclus: $2k^2$ est un entier, donc $n^2$ est pair : nous sommes arrivés à $\neg p$ = La contraposée est démontrée

Answer: Comme "$n$ pair $\Rightarrow$ $n^2$ pair" est vraie, "$n^2$ impair $\Rightarrow$ $n$ impair" est vraie. CQFD

Si xy est impair, alors x et y sont impairs

Démontre : pour tous entiers $x$ et $y$, si $xy$ est impair, alors $x$ et $y$ sont tous les deux impairs.

Nie la conclusion avec soin: La négation de "$x$ est impair et $y$ est impair" est "$x$ est pair ou $y$ est pair" (et devient ou) = $\neg q$ : $x$ est pair ou $y$ est pair

Écris la contraposée: Si $x$ est pair ou $y$ est pair, alors $xy$ n'est pas impair = Si $x$ ou $y$ est pair, alors $xy$ est pair

Cas 1 : x est pair: $x = 2k$, donc $xy = 2ky = 2(ky)$, et $ky$ est un entier = $xy$ est pair

Cas 2 : y est pair: $y = 2j$, donc $xy = 2xj = 2(xj)$, et $xj$ est un entier = $xy$ est pair

Conclus: Dans les deux cas $xy$ est pair, donc la contraposée est vraie = Si $xy$ est impair, alors $x$ et $y$ sont impairs

Answer: Chaque cas de la conclusion niée mène à $xy$ pair, donc l'énoncé de départ est vrai. CQFD

Si x + y ≥ 10, alors x ≥ 5 ou y ≥ 5

Démontre : pour tous réels $x$ et $y$, si $x + y \geq 10$, alors $x \geq 5$ ou $y \geq 5$.

Nie la conclusion: La négation de "$x \geq 5$ ou $y \geq 5$" est "$x < 5$ et $y < 5$" (ou devient et, $\geq$ devient $<$) = $\neg q$ : $x < 5$ et $y < 5$

Nie l'hypothèse: La négation de $x + y \geq 10$ est $x + y < 10$ = $\neg p$ : $x + y < 10$

Suppose la conclusion niée: Suppose $x < 5$ et $y < 5$ = Deux inégalités

Additionne les inégalités: $x + y < 5 + 5 = 10$ = $x + y < 10$

Conclus: Nous sommes arrivés à $\neg p$ en partant de $\neg q$ = L'énoncé de départ est vrai

Answer: Si $x < 5$ et $y < 5$, alors $x + y < 10$. C'est la contraposée, donc $x + y \geq 10$ impose $x \geq 5$ ou $y \geq 5$. CQFD

Choisir la méthode : n² - 6n + 5

Démontre : pour tout entier $n$, si $n^2 - 6n + 5$ est pair, alors $n$ est impair.

Essaie d'abord la voie directe: Supposer "$n^2 - 6n + 5$ est pair" donne une égalité $n^2 - 6n + 5 = 2m$ qui renseigne peu sur $n$ = La démonstration directe est laborieuse

Écris la contraposée: Si $n$ est pair, alors $n^2 - 6n + 5$ est impair = $\neg q \to \neg p$

Suppose n pair et remplace: $n = 2k$, donc $n^2 - 6n + 5 = 4k^2 - 12k + 5$ = $4k^2 - 12k + 5$

Mets-le sous la forme 2m + 1: $4k^2 - 12k + 5 = 2(2k^2 - 6k + 2) + 1$ = L'expression est impaire

Vérifie avec un nombre: $k = 5$, $n = 10$ : $100 - 60 + 5 = 45 = 2 \cdot 22 + 1$ = Impair, comme prévu

Answer: Si $n$ est pair, alors $n^2 - 6n + 5$ est impair. C'est la contraposée, donc l'énoncé de départ est vrai. CQFD

Mistake: Démontrer la réciproque au lieu de la contraposée : pour "si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair", supposer $n$ pair et montrer que $n^2$ est pair

Why: Cela démontre $q \to p$, la réciproque, qui est un autre énoncé. Une implication et sa réciproque ne sont pas équivalentes.

Correct: Nie les deux parties et échange-les : suppose $n$ impair ($\neg q$) et montre que $n^2$ est impair ($\neg p$).

Mistake: Nier "$x$ et $y$ sont impairs" en "$x$ et $y$ sont pairs"

Why: La conclusion est déjà fausse dès qu'un seul des nombres est pair. "Tous les deux pairs" ne couvre qu'une partie des cas, la démonstration serait incomplète.

Correct: "Non ($a$ et $b$)" signifie "non $a$ ou non $b$" : $x$ est pair ou $y$ est pair. Démontre ensuite chaque cas.

Mistake: Nier $x \geq 5$ en $x \leq 5$

Why: La valeur $x = 5$ vérifie à la fois $x \geq 5$ et $x \leq 5$, donc $x \leq 5$ n'est pas le contraire de $x \geq 5$.

Correct: La négation de $x \geq 5$ est $x < 5$, et la négation de $x > 5$ est $x \leq 5$.

Mistake: Supposer $\neg q$ puis chercher "une contradiction quelconque"

Why: C'est mélanger deux méthodes. Dans une démonstration par contraposée il n'y a pas de contradiction : tu as une cible claire.

Correct: Suppose $\neg q$ et avance jusqu'à obtenir exactement $\neg p$. Chercher une contradiction quelconque, c'est le raisonnement par l'absurde.

Contrôle qualité

Les contrôleurs utilisent la contraposée pour écarter des cas sans peser chaque article deux fois.

Règle : si un lot de 4 boîtes pèse au moins 2000 g, alors au moins une boîte pèse au moins 500 g. Contraposée : si chaque boîte pèse moins de 500 g, le lot pèse moins de 2000 g.

Tester un logiciel

Les programmeurs testent le code avec la contraposée : si le code est correct, un test donne le bon résultat, donc un mauvais résultat prouve un bug.

Une fonction doit calculer $f(n) = 3n + 2$. Nous avons démontré : si $f(n)$ est impair, alors $n$ est impair. Contraposée : un $n$ pair doit donner un résultat pair.

Chiffres de contrôle dans les codes

Beaucoup de codes utilisent une règle simple pour repérer les fautes de frappe. La contraposée te dit quand un code est forcément faux.

Règle : si un code est valide, alors la somme de ses chiffres est divisible par 9. Contraposée : si la somme des chiffres n'est pas divisible par 9, le code n'est pas valide.

Q: Pourquoi démontrer la contraposée démontre-t-il l'énoncé de départ ?

A: Parce qu'elles sont logiquement équivalentes : dans la table de vérité, $p \to q$ et $\neg q \to \neg p$ sont fausses exactement à la même ligne ($p$ vraie, $q$ fausse) et vraies partout ailleurs. Démontrer l'une, c'est démontrer l'autre.

Q: Comment savoir s'il vaut mieux utiliser la contraposée qu'une démonstration directe ?

A: Regarde l'hypothèse. Si elle est difficile à exploiter (un énoncé sur $n^2$, un produit, une somme) alors que la conclusion niée te donne une formule ($n = 2k$, $n = 2k + 1$, $x < 5$ et $y < 5$), la contraposée est en général plus courte.

Q: Quelle est la différence avec le raisonnement par l'absurde ?

A: Dans le raisonnement par l'absurde, tu supposes $p$ et $\neg q$ et tu cherches n'importe quelle situation impossible. Dans la démonstration par contraposée, tu supposes seulement $\neg q$ et tu dois arriver à l'énoncé précis $\neg p$. Toute démonstration par contraposée peut se réécrire par l'absurde, mais une démonstration par l'absurde n'est pas toujours une contraposée.

Q: Si je démontre la contraposée, la réciproque est-elle vraie aussi ?

A: Pas automatiquement. La réciproque $q \to p$ est un énoncé à part. Par exemple, "si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair" et sa réciproque "si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair" sont vraies toutes les deux, mais chacune demande sa propre démonstration.