Un cornet de glace

Un cornet a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Trouve son volume en fonction de $\pi$, puis avec $\pi \approx 3{,}14$, arrondi au dixième.

Écris la formule: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ = Formule prête

Mets le rayon au carré: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Multiplie par la hauteur et divise par 3: $\frac{1}{3} \times 9 \times 10 = \frac{90}{3} = 30$ = $V = 30\pi$ cm³

Utilise $\pi \approx 3{,}14$: $30 \times 3{,}14 = 94{,}2$ = $V \approx 94{,}2$ cm³

Answer: Le cornet contient exactement $30\pi$ cm³, soit environ $94{,}2$ cm³ de glace (sans compter la boule du dessus !).

Cône contre cylindre

Un cylindre et un cône ont tous les deux un diamètre de 8 cm et une hauteur de 9 cm. Trouve les deux volumes en fonction de $\pi$ et compare-les.

Trouve le rayon à partir du diamètre: $r = 8 \div 2 = 4$ cm = $r = 4$ cm

Volume du cylindre: $V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 9 = 144\pi$ = $144\pi$ cm³

Volume du cône (un tiers): $V = \frac{1}{3} \times 144\pi = 48\pi$ = $48\pi$ cm³

Compare: $144\pi \div 48\pi = 3$ = Le cylindre contient 3 fois plus

Answer: Le cylindre contient $144\pi$ cm³ et le cône $48\pi \approx 150{,}72$ cm³. Trois cônes remplissent un cylindre.

Un tas de sable

Un tas de sable forme un cône de 6 m de diamètre et de 2 m de hauteur. Combien de mètres cubes de sable contient le tas ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.

Trouve le rayon: $r = 6 \div 2 = 3$ m = $r = 3$ m

Remplace dans la formule: $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^2 \times 2$ = Valeurs remplacées

Calcule d'abord $\frac{1}{3} r^2 h$: $\frac{9 \times 2}{3} = \frac{18}{3} = 6$ = $V = 6\pi$

Multiplie par 3,14: $6 \times 3{,}14 = 18{,}84$ = $V \approx 18{,}84$ m³

Answer: Le tas contient environ $18{,}84$ m³ de sable (exactement $6\pi$ m³).

Utiliser la génératrice

Un cône a un rayon de 6 cm et une génératrice de 10 cm. Trouve son volume en fonction de $\pi$ et avec $\pi \approx 3{,}14$, arrondi au centième.

Remarque que 10 cm est la génératrice, pas la hauteur: Le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle : $l^2 = r^2 + h^2$ = Il faut d'abord $h$

Utilise le théorème de Pythagore: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ = $h = \sqrt{64} = 8$ cm

Applique la formule du volume: $V = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = \frac{36 \times 8}{3}\pi = 96\pi$ = $V = 96\pi$ cm³

Utilise $\pi \approx 3{,}14$: $96 \times 3{,}14 = 301{,}44$ = $V \approx 301{,}44$ cm³

Answer: $V = 96\pi \approx 301{,}44$ cm³. En prenant 10 cm comme hauteur, tu aurais obtenu le mauvais résultat $120\pi$ cm³.

Trouver la hauteur d'un entonnoir

Un entonnoir en forme de cône contient 314 cm³ quand il est plein. Son rayon est de 5 cm. Quelle est sa hauteur ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$.

Écris la formule avec ce que tu connais: $314 = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^2 \times h$ = Seul $h$ est inconnu

Multiplie les deux membres par 3: $942 = 3{,}14 \times 25 \times h$ = $942 = 78{,}5h$

Divise les deux membres par 78,5: $h = 942 \div 78{,}5 = 12$ = $h = 12$ cm

Vérifie: $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 12 = 3{,}14 \times 100 = 314$ = Correct

Answer: L'entonnoir mesure $12$ cm de haut. En général, $h = \frac{3V}{\pi r^2}$.

Mistake: Oublier le $\frac{1}{3}$ et utiliser $V = \pi r^2 h$

Why: C'est la formule du cylindre. Un cône de même base et de même hauteur n'en contient qu'un tiers, donc le résultat est 3 fois trop grand.

Correct: Écris toujours $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ et divise par 3. Pour $r = 3$, $h = 10$ : $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi$, et non $90\pi$.

Mistake: Utiliser le diamètre au lieu du rayon

Why: Le rayon est la moitié du diamètre. Mettre le diamètre au carré rend le résultat 4 fois trop grand.

Correct: Si l'énoncé donne le diamètre, divise-le d'abord par 2 : un diamètre de 8 cm donne $r = 4$ cm et $r^2 = 16$, pas $64$.

Mistake: Prendre la génératrice comme hauteur

Why: La génératrice suit le côté incliné, elle est donc toujours plus longue que la hauteur perpendiculaire. L'utiliser donne un volume trop grand.

Correct: La hauteur va tout droit du sommet au centre de la base. Si tu ne connais que la génératrice $l$, trouve $h$ avec $h^2 = l^2 - r^2$.

Mistake: Donner le résultat en unités carrées, comme cm²

Why: Le volume a trois dimensions : $r \times r \times h$ multiplie trois longueurs.

Correct: Un volume s'exprime toujours en unités cubiques : cm³, m³, in³. Rappelle-toi que $1$ cm³ $= 1$ mL.

Chez le glacier

Les glaciers choisissent la taille et le prix des cornets selon la quantité de glace qu'ils peuvent contenir.

Un petit cornet de rayon 2 cm et de hauteur 9 cm contient $\frac{1}{3}\pi \times 4 \times 9 = 12\pi \approx 37{,}68$ cm³.

Gobelets en papier à la fontaine à eau

Beaucoup de fontaines à eau de bureau utilisent des gobelets en papier en forme de cône. Ils coûtent peu à fabriquer et s'empilent facilement.

Un gobelet conique de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm contient $30\pi \approx 94{,}2$ cm³, soit environ $94$ mL d'eau.

Tas de sable et de sel de déneigement

Quand on verse du sable, du gravier ou du sel de déneigement d'en haut, il forme un cône. Les maçons et les services de voirie utilisent la formule du cône pour estimer la quantité de matériau dans un tas.

Un tas de sable de rayon 3 m et de hauteur 2 m contient $6\pi \approx 18{,}84$ m³ de sable.

Q: Pourquoi exactement un tiers, et pas la moitié ?

A: Un cône devient de plus en plus étroit vers le haut, donc la plus grande partie de son volume se trouve près de la base. Tu peux le vérifier avec de l'eau ou du riz : trois cônes pleins remplissent un cylindre de même base et de même hauteur. Plus tard, avec le calcul intégral, tu pourras prouver que le facteur vaut exactement $\frac{1}{3}$. Les pyramides suivent la même règle du tiers.

Q: Et si le cône est penché (un cône oblique) ?

A: La formule marche toujours, à condition que $h$ soit la hauteur perpendiculaire entre le sommet et le plan de la base. Un cône oblique de même base et de même hauteur perpendiculaire a le même volume qu'un cône droit.

Q: Quand dois-je laisser le résultat en fonction de $\pi$ ?

A: Quand l'énoncé demande une valeur exacte ou dit "en fonction de $\pi$", écris par exemple $48\pi$ cm³. Quand tu as besoin d'un nombre pour une situation réelle, multiplie par $3{,}14$ (ou utilise la touche $\pi$) et arrondis comme l'énoncé le demande.

Q: Comment trouver la hauteur si je ne connais que la génératrice ?

A: Le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle dont la génératrice est l'hypoténuse. Donc $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Pour $r = 5$ et $l = 13$ : $h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.