Volume à partir du rayon

Un cylindre a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $10$ cm. Calcule son volume en fonction de $\pi$, puis avec $\pi \approx 3{,}14$.

Écris la formule: $V = \pi r^2 h$ = Formule prête

Mets le rayon au carré: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Multiplie par la hauteur: $V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ = $V = 90\pi$ cm³ (valeur exacte)

Utilise $\pi \approx 3{,}14$: $90 \times 3{,}14 = 282{,}6$ = $V \approx 282{,}6$ cm³

Answer: $V = 90\pi$ cm³, soit environ $282{,}6$ cm³

Attention : on donne le diamètre

Une boîte de conserve a un diamètre de $8$ cm et une hauteur de $12$ cm. Calcule son volume avec $\pi \approx 3{,}14$, arrondi au cm³ près.

Trouve le rayon à partir du diamètre: $r = 8 \div 2 = 4$ = $r = 4$ cm

Mets le rayon au carré: $4^2 = 16$ = $r^2 = 16$

Multiplie par la hauteur: $16 \times 12 = 192$ = $V = 192\pi$ cm³

Multiplie par $3{,}14$ et arrondis: $192 \times 3{,}14 = 602{,}88 \approx 603$ = $V \approx 603$ cm³

Answer: La boîte contient environ $603$ cm³, soit environ $603$ mL

Combien de litres dans une cuve ?

Une cuve d'eau cylindrique a un rayon de $50$ cm et une hauteur de $120$ cm. Combien de litres contient-elle ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$.

Mets le rayon au carré: $50^2 = 2500$ = $r^2 = 2500$

Multiplie par la hauteur: $2500 \times 120 = 300000$ = $V = 300000\pi$ cm³

Utilise $\pi \approx 3{,}14$: $300000 \times 3{,}14 = 942000$ = $V \approx 942000$ cm³

Convertis en litres ($1000$ cm³ $= 1$ L): $942000 \div 1000 = 942$ = $942$ L

Answer: La cuve contient environ $942$ litres

Trouver la hauteur

Un cylindre a un volume de $471$ cm³ et un rayon de $5$ cm. Quelle est sa hauteur ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$.

Calcule l'aire de la base: $B = 3{,}14 \times 5^2 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5$ = $B = 78{,}5$ cm²

Utilise $V = B \times h$: $471 = 78{,}5 \times h$ = Équation posée

Divise le volume par l'aire de la base: $h = 471 \div 78{,}5 = 6$ = $h = 6$ cm

Vérifie: $78{,}5 \times 6 = 471$ = C'est juste

Answer: La hauteur est de $6$ cm

Trouver le rayon

Un cylindre mesure $20$ cm de haut et a un volume de $1004{,}8$ cm³. Quel est son rayon ? Utilise $\pi \approx 3{,}14$.

Écris la formule avec ce que tu connais: $1004{,}8 = 3{,}14 \times r^2 \times 20$ = Équation posée

Multiplie $\pi$ par la hauteur: $3{,}14 \times 20 = 62{,}8$ = $1004{,}8 = 62{,}8 \times r^2$

Divise pour obtenir $r^2$: $r^2 = 1004{,}8 \div 62{,}8 = 16$ = $r^2 = 16$

Prends la racine carrée: $r = \sqrt{16} = 4$ = $r = 4$ cm

Answer: Le rayon est de $4$ cm (le diamètre est donc de $8$ cm)

Mistake: Utiliser le diamètre au lieu du rayon

Why: La formule met le rayon au carré. Si tu mets le diamètre au carré, le résultat est 4 fois trop grand. Pour $d = 10$ cm et $h = 5$ cm, $\pi \times 10^2 \times 5 = 500\pi$ est faux.

Correct: Divise d'abord le diamètre par deux : $r = 5$, donc $V = \pi \times 5^2 \times 5 = 125\pi$ cm³.

Mistake: Doubler le rayon au lieu de le mettre au carré

Why: $r^2$ signifie $r \times r$, et non $r \times 2$. Pour $r = 3$ : $3^2 = 9$, pas $6$.

Correct: Multiplie toujours le rayon par lui-même : $r^2 = 3 \times 3 = 9$.

Mistake: Diviser par 100 au lieu de 1000 pour convertir en litres

Why: Un litre est un cube de $10$ cm de côté, il contient donc $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³, et non $100$.

Correct: $942000$ cm³ $\div 1000 = 942$ L. Retiens : $1$ cm³ $= 1$ mL.

Mistake: Arrondir trop tôt

Why: Si tu arrondis l'aire de la base avant de multiplier par la hauteur, l'erreur grandit. Pour $r = 2{,}5$ cm et $h = 10$ cm, arrondir $B = 19{,}625$ à $20$ donne $200$ cm³.

Correct: Garde tous les chiffres jusqu'à la fin : $19{,}625 \times 10 = 196{,}25$ cm³, puis arrondis seulement le résultat final.

Canettes de boisson

Les fabricants de boissons conçoivent les canettes pour qu'elles contiennent une quantité précise, comme 330 mL. La formule du volume leur indique la hauteur et la largeur nécessaires.

Une canette de rayon $3{,}3$ cm et de hauteur $10$ cm contient environ $3{,}14 \times 3{,}3^2 \times 10 \approx 342$ cm³, assez pour $330$ mL plus un peu d'air.

Récupérateurs d'eau de pluie

Les jardiniers récupèrent l'eau de pluie dans des tonneaux cylindriques. Le volume leur indique combien de litres ils peuvent garder pour les semaines sèches.

Un tonneau de rayon $25$ cm et de hauteur $80$ cm contient $3{,}14 \times 625 \times 80 = 157000$ cm³, soit $157$ L.

Piscines pour enfants

Avant de remplir une piscine ronde pour enfants, il est utile de savoir combien d'eau il faut. Ici, la hauteur est la profondeur de l'eau, et non la hauteur du bord.

Une piscine de rayon $1{,}5$ m remplie sur $0{,}2$ m contient $3{,}14 \times 2{,}25 \times 0{,}2 = 1{,}413$ m³, soit $1413$ L.

Q: Pourquoi y a-t-il $\pi r^2$ dans la formule ?

A: Parce que $\pi r^2$ est l'aire de la base circulaire. Le volume de tout solide qui ressemble à un prisme est l'aire de la base fois la hauteur, et un cylindre est comme un prisme dont la base est un disque.

Q: Quand dois-je laisser le résultat en fonction de $\pi$ ?

A: Quand l'énoncé demande une valeur exacte ou dit de donner le résultat en fonction de $\pi$. Sinon, utilise $\pi \approx 3{,}14$ (ou la touche $\pi$ de la calculatrice) et arrondis comme le demande l'énoncé.

Q: Et si le cylindre est couché ?

A: Rien ne change. La hauteur est toujours la distance entre les deux bases circulaires : pour un tuyau ou un rouleau à pâtisserie posé à plat, la hauteur est sa longueur.

Q: Que devient le volume si je double le rayon ?

A: Le volume devient 4 fois plus grand, car le rayon est mis au carré : $(2r)^2 = 4r^2$. Doubler seulement la hauteur double le volume.