Divisibilité par 4 avec les deux derniers chiffres

$7316$ est-il divisible par $4$ ?

Sépare les deux derniers chiffres: $7316 = 73 \times 100 + 16$ = Deux derniers chiffres : $16$

Rappelle-toi pourquoi les centaines ne comptent pas: $100 = 4 \times 25$, donc $7300$ est un multiple de $4$ = Seul $16$ décide

Teste les deux derniers chiffres: $16 = 4 \times 4$ = $16$ est divisible par $4$

Conclus et vérifie: $7316 \div 4 = 1829$ = Divisible, reste $0$

Answer: Oui. Les deux derniers chiffres forment 16, qui est divisible par 4, donc 7316 est divisible par 4 (7316 ÷ 4 = 1829).

Le test rapide du chiffre des dizaines

Lesquels des nombres $3572$, $6134$ et $9048$ sont divisibles par $4$ ?

Teste $3572$ : le chiffre des dizaines $7$ est impair: Dizaines impaires : le dernier chiffre doit être $2$ ou $6$. C'est $2$ = $72 = 4 \times 18$, divisible

Teste $6134$ : le chiffre des dizaines $3$ est impair: Dizaines impaires : le dernier chiffre doit être $2$ ou $6$. C'est $4$ = $34 = 4 \times 8 + 2$, pas divisible

Teste $9048$ : le chiffre des dizaines $4$ est pair: Dizaines paires : le dernier chiffre doit être $0$, $4$ ou $8$. C'est $8$ = $48 = 4 \times 12$, divisible

Answer: 3572 et 9048 sont divisibles par 4. 6134 ne l'est pas : il reste 2.

Divisibilité par 8 avec les trois derniers chiffres

$45\,136$ est-il divisible par $8$ ?

Sépare les trois derniers chiffres: $45\,136 = 45 \times 1000 + 136$, et $1000 = 8 \times 125$ = Seul $136$ décide

Divise $136$ par $8$ en prenant trois fois la moitié: $136 \to 68 \to 34 \to 17$ = Trois moitiés entières : $136 = 8 \times 17$

Conclus et vérifie: $45\,136 \div 8 = 5642$ = Divisible, reste $0$

Answer: Oui. Les trois derniers chiffres forment 136 = 8 × 17, donc 45 136 est divisible par 8 (45 136 ÷ 8 = 5642).

Divisibilité par 6 : deux tests, les deux doivent réussir

Lequel des nombres $5742$ et $3754$ est divisible par $6$ ?

Teste $5742$ pour $2$: Le dernier chiffre $2$ est pair = Divisible par $2$

Teste $5742$ pour $3$: $5 + 7 + 4 + 2 = 18$, et $18 = 3 \times 6$ = Divisible par $3$, donc par $6$ : $5742 \div 6 = 957$

Teste $3754$ pour $2$: Le dernier chiffre $4$ est pair = Divisible par $2$

Teste $3754$ pour $3$: $3 + 7 + 5 + 4 = 19$, et $19 = 3 \times 6 + 1$ = Pas divisible par $3$, donc pas par $6$

Answer: 5742 est divisible par 6. 3754 est pair mais échoue au test de 3, donc il n'est pas divisible par 6.

Les années bissextiles

Une année est bissextile si elle est divisible par $4$, sauf les années séculaires (qui finissent par $00$), qui doivent être divisibles par $400$. Lesquelles des années $2024$, $1900$, $2000$ et $2100$ sont bissextiles ?

Teste $2024$: Pas une année séculaire. Deux derniers chiffres $24 = 4 \times 6$ = Bissextile

Teste $1900$: Année séculaire : $1900 \div 400 = 4{,}75$ = Pas bissextile

Teste $2000$: Année séculaire : $2000 \div 400 = 5$ = Bissextile

Teste $2100$: Année séculaire : $2100 \div 400 = 5{,}25$ = Pas bissextile

Answer: 2024 et 2000 sont bissextiles. 1900 et 2100 sont divisibles par 4, mais ce sont des années séculaires non divisibles par 400, donc elles ne sont pas bissextiles.

Mistake: Ne regarder que le dernier chiffre pour $4$ : "$2134$ finit par $4$, donc il est divisible par $4$"

Why: Le critère de $4$ lit les **deux** derniers chiffres, car $10$ n'est pas un multiple de $4$. Ici $34 = 4 \times 8 + 2$.

Correct: Teste les deux derniers chiffres : $34$ laisse un reste de $2$, donc $2134$ n'est pas divisible par $4$.

Mistake: Ne regarder que les deux derniers chiffres pour $8$ : "$3124$ finit par $24 = 8 \times 3$, donc il est divisible par $8$"

Why: $100$ n'est pas un multiple de $8$ ($100 = 8 \times 12 + 4$), donc le chiffre des centaines compte encore. Le critère de $8$ demande les **trois** derniers chiffres.

Correct: Teste $124$ : $124 = 8 \times 15 + 4$. Donc $3124$ n'est pas divisible par $8$ (reste $4$).

Mistake: Croire que divisible par $2$ et par $4$ veut dire divisible par $8$

Why: $12$ est divisible par $2$ et par $4$, mais $12 \div 8 = 1{,}5$. Combiner des critères ne marche que si les deux nombres sont premiers entre eux, comme $2$ et $3$ pour $6$. $2$ et $4$ ont le facteur commun $2$.

Correct: Pour $8$, utilise son propre critère (trois derniers chiffres). Pour $6$, tu peux combiner $2$ et $3$.

Mistake: Ne tester qu'une partie du critère de $6$ : "$27$ est divisible par $3$, donc par $6$"

Why: Pour $6$, il faut les **deux** tests. $27$ est impair, il échoue donc au test de $2$. De même, $26$ est pair mais la somme de ses chiffres, $8$, échoue au test de $3$.

Correct: Un nombre n'est divisible par $6$ que s'il est pair **et** si la somme de ses chiffres est divisible par $3$, par exemple $5742$.

Les années bissextiles d'un siècle

Le calendrier ajoute un jour (le 29 février) chaque année divisible par 4, mais saute les années séculaires qui ne sont pas divisibles par 400.

$2024$ est bissextile ($24 = 4 \times 6$), $2000$ l'était ($2000 = 400 \times 5$), mais pas $1900$ ($1900 \div 400 = 4{,}75$).

Emballer par six

Les boulangeries, les élevages de poules et les fabricants de boissons emballent par 6. Les critères de 2 et de 3 leur disent avant de compter s'il ne restera rien.

$4320$ œufs remplissent exactement des boîtes de $6$ : $4320$ est pair et $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ est divisible par $3$, donc $4320 \div 6 = 720$ boîtes.

Des caisses de huit

Les bouteilles et les canettes voyagent souvent par caisses de 8. Pour une grosse commande, seuls les trois derniers chiffres décident si les caisses tombent juste.

$1560$ crayons tiennent dans des boîtes de $8$ : les trois derniers chiffres $560 = 8 \times 70$, donc $1560 \div 8 = 195$ boîtes.

Q: Pourquoi les deux derniers chiffres décident-ils de la divisibilité par 4 ?

A: Tout nombre entier est un nombre de centaines plus ses deux derniers chiffres : $7316 = 73 \times 100 + 16$. Comme $100 = 4 \times 25$, tout nombre entier de centaines est divisible par $4$. Le reste du nombre entier dans la division par $4$ est donc le même que celui des deux derniers chiffres. La même idée avec $1000 = 8 \times 125$ donne le critère de $8$.

Q: Si un nombre est divisible par 4, est-il aussi divisible par 8 ?

A: Pas toujours. $12$, $20$ et $28$ sont divisibles par $4$ mais pas par $8$. La chaîne ne descend que dans un sens : tout multiple de $8$ est un multiple de $4$ (car $8 = 4 \times 2$), et tout multiple de $4$ est pair.

Q: Puis-je construire d'autres critères comme 6 = 2 et 3 ?

A: Oui, mais seulement avec des nombres premiers entre eux (pas de diviseur commun autre que $1$). $6 = 2 \times 3$ marche parce que $2$ et $3$ sont premiers entre eux. $8 = 2 \times 4$ ne marche pas, car $2$ et $4$ ont le diviseur commun $2$ : $12$ réussit les deux tests et n'est pourtant pas divisible par $8$. La leçon Critères de divisibilité combinés le montre pour $12$, $15$, $18$ et $36$.

Q: Pourquoi les années séculaires doivent-elles être divisibles par 400 pour être bissextiles ?

A: Une année dure environ $365{,}2422$ jours. Un jour bissextile tous les $4$ ans donne en moyenne $365{,}25$ jours, un peu trop. En sautant $3$ jours bissextiles tous les $400$ ans ($1700$, $1800$, $1900$, mais pas $2000$), il reste $97$ années bissextiles sur $400$ ans : $365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425$ jours, très proche de la vraie valeur.