Divisible par 12 : utilise 3 et 4

$7128$ est-il divisible par $12$ ?

Décompose 12 en facteurs premiers entre eux: $12 = 3 \times 4$, et 3 et 4 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 = Teste 3 et 4

Teste 3 avec la somme des chiffres: $7 + 1 + 2 + 8 = 18$, et $18$ est divisible par 3 = Divisible par 3

Teste 4 avec les deux derniers chiffres: Les deux derniers chiffres forment $28$, et $28 \div 4 = 7$ = Divisible par 4

Combine et vérifie: Les deux tests sont réussis, donc 12 divise le nombre : $7128 \div 12 = 594$ = Divisible par 12

Answer: Oui, $7128$ est divisible par $12$ ($7128 = 12 \times 594$).

Le piège de 2 et 6

$18$ est divisible par $2$ et par $6$. Est-il divisible par $2 \times 6 = 12$ ?

Vérifie 2 et 6: $18 \div 2 = 9$ et $18 \div 6 = 3$ = Les deux divisent 18

Vérifie 12 directement: $18 = 12 \times 1 + 6$ = Reste 6, pas divisible

Trouve la raison: $2 = 2$ et $6 = 2 \times 3$ ont le diviseur commun 2, donc le 2 est compté deux fois. Divisible par 2 et 6 veut seulement dire divisible par $\text{PPCM}(2, 6) = 6$ = 2 et 6 ne sont pas premiers entre eux

Answer: Non. $18$ réussit les tests de 2 et de 6 mais n'est pas divisible par 12. Utilise plutôt le couple 3 et 4, premiers entre eux.

Divisible par 11 : somme alternée

$82\,918$ est-il divisible par $11$ ?

Écris les chiffres en partant des unités vers la gauche: $8, 1, 9, 2, 8$ = Commence par le chiffre des unités

Ajoute et soustrais à tour de rôle: $8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22$ = Somme alternée : 22

Teste le résultat: $22 = 2 \times 11$ = Divisible par 11

Vérifie en divisant: $82\,918 \div 11 = 7538$ = Pas de reste

Answer: Oui, $82\,918$ est divisible par $11$ car sa somme alternée $22$ est un multiple de 11.

Recherche rapide des diviseurs

Lesquels des nombres de $2$ à $12$ divisent $1980$ ?

Tests sur le dernier chiffre: Se termine par 0 : divisible par 2, 5 et 10 = 2, 5, 10

Tests sur la somme des chiffres: $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ : divisible par 3 et par 9 = 3, 9

Deux et trois derniers chiffres: $80 \div 4 = 20$ : divisible par 4. $980 \div 8 = 122{,}5$ : pas divisible par 8 = 4 oui, 8 non

Somme alternée pour 11: $0 - 8 + 9 - 1 = 0$ = 11

Combine les couples premiers entre eux: $6 = 2 \times 3$ et $12 = 3 \times 4$ sont réussis. Pour 7, il n'y a pas de critère simple : $1980 = 7 \times 282 + 6$ = 6, 12 ; pas 7

Answer: $1980$ est divisible par $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11$ et $12$, mais pas par $7$ ni par $8$.

Chiffre manquant avec deux critères

Quels chiffres $d$ rendent $38d4$ divisible par $12$ ?

Critère de 4 : les deux derniers chiffres $d4$: $04, 24, 44, 64, 84$ sont des multiples de 4 = $d$ = 0, 2, 4, 6 ou 8

Critère de 3 : la somme des chiffres: $3 + 8 + d + 4 = 15 + d$ doit être un multiple de 3 = $d$ = 0, 3, 6 ou 9

Garde les chiffres qui réussissent les deux: Communs aux deux listes : 0 et 6 = $d = 0$ ou $d = 6$

Vérifie: $3804 \div 12 = 317$ et $3864 \div 12 = 322$ = Les deux conviennent

Answer: $d = 0$ ou $d = 6$ : les nombres $3804$ et $3864$ sont tous deux divisibles par $12$.

Mistake: Tester 12 avec les critères de 2 et de 6

Why: 2 et 6 ont le diviseur commun 2, donc réussir les deux tests prouve seulement la divisibilité par 6. Contre-exemple : $18$ (et aussi $30$) est divisible par 2 et 6, mais pas par 12.

Correct: Utilise des facteurs premiers entre eux : $12 = 3 \times 4$. Vérifie la somme des chiffres pour 3 et les deux derniers chiffres pour 4.

Mistake: Tester 36 avec 3 et 12

Why: 3 et 12 ont le diviseur commun 3. $24$ est divisible par 3 et par 12, mais $24 \div 36$ n'est pas un nombre entier.

Correct: Utilise $36 = 4 \times 9$ : deux derniers chiffres divisibles par 4 et somme des chiffres divisible par 9.

Mistake: Croire qu'un seul test réussi suffit

Why: Un critère combiné demande les DEUX tests. $25$ se termine par 5 mais la somme de ses chiffres vaut 7, donc il n'est pas divisible par 15.

Correct: Vérifie chaque facteur du couple. Si un test échoue, le nombre n'est pas divisible par le produit.

Mistake: Lire une somme alternée de $0$ ou $-11$ comme non divisible par 11

Why: $0$, $-11$ et $-22$ sont aussi des multiples de 11. Pour $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$, et en effet $9174 = 11 \times 834$.

Correct: Le nombre est divisible par 11 dès que la somme alternée vaut $0$ ou n'importe quel multiple de 11, positif ou négatif.

Partager équitablement

Les enseignants, les entraîneurs et les organisateurs doivent souvent savoir si des objets peuvent être partagés sans reste.

Une école a 1350 autocollants pour 15 classes. $15 = 3 \times 5$ : le dernier chiffre est 0 (divisible par 5) et $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (divisible par 3). Les autocollants peuvent donc être partagés équitablement.

Horaires

Les responsables des transports veulent des départs qui se répètent de la même façon chaque jour. Une journée compte $24 \times 60 = 1440$ minutes.

Un bus toutes les 12 minutes remplit une journée exactement : $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (divisible par 3) et $40 \div 4 = 10$, donc 1440 est divisible par 12, ce qui donne 120 départs.

Le test des 12 chiffres

Beaucoup de calculatrices n'affichent que 8 à 10 chiffres, elles ne peuvent donc pas diviser exactement un nombre à 12 chiffres. Les critères de divisibilité marchent pour des nombres de n'importe quelle longueur.

Pour $123\,456\,789\,012$, la somme des chiffres vaut $48$ (divisible par 3) et les deux derniers chiffres forment $12$ (divisible par 4), donc le nombre est divisible par 12.

Q: Pourquoi les deux facteurs doivent-ils être premiers entre eux ?

A: Un nombre divisible par $a$ et par $b$ est un multiple commun de $a$ et $b$, il est donc divisible par $\text{PPCM}(a, b)$. Quand $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $\text{PPCM}(a, b) = a \times b$. Quand ils ont un diviseur commun, le PPCM est plus petit : $\text{PPCM}(2, 6) = 6$, pas 12.

Q: Pourquoi la somme alternée marche-t-elle pour 11 ?

A: $10 = 11 - 1$, donc 10 laisse le reste $-1$ dans la division par 11, $100 = 99 + 1$ laisse $+1$, $1000 = 1001 - 1$ laisse $-1$, et ainsi de suite. Chaque chiffre compte donc avec le signe $+, -, +, -, \dots$ à partir des unités, et le nombre a le même reste que sa somme alternée.

Q: Est-ce important de commencer la somme alternée par la gauche ou par la droite ?

A: Pour la réponse oui ou non, non : les deux résultats sont égaux ou opposés, et $-22$ est un multiple de 11 exactement quand $22$ en est un. Commencer au chiffre des unités avec $+$ garde en plus le reste du nombre (ajoute ou soustrais 11 jusqu'à tomber entre 0 et 10), c'est donc la meilleure habitude.

Q: Puis-je tester 24 avec 4 et 6 ?

A: Non, 4 et 6 ont le diviseur commun 2. $12$ est divisible par 4 et 6 mais pas par 24. Utilise le couple de nombres premiers entre eux $24 = 3 \times 8$ : somme des chiffres divisible par 3 et trois derniers chiffres divisibles par 8.