Trouver le PPCM en listant les multiples

Trouve le PPCM de $3$ et $5$.

Liste les multiples de 3: $3 \times 1 = 3$, $3 \times 2 = 6$, $3 \times 3 = 9$, $3 \times 4 = 12$, $3 \times 5 = 15$, ... = $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...$

Liste les multiples de 5: $5 \times 1 = 5$, $5 \times 2 = 10$, $5 \times 3 = 15$, ... = $5, 10, 15, 20, 25, ...$

Trouve le plus petit multiple commun: Les deux listes contiennent $15$ = $\text{PPCM}(3, 5) = 15$

Answer: Le PPCM de $3$ et $5$ est $15$.

Trouver le PPCM par décomposition en facteurs premiers

Trouve le PPCM de $12$ et $18$.

Trouve la décomposition de 12: $12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3$ = $12 = 2^2 \times 3$

Trouve la décomposition de 18: $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3$ = $18 = 2 \times 3^2$

Prends la plus haute puissance de chaque nombre premier: Plus haute puissance de $2$ : $2^2$. Plus haute puissance de $3$ : $3^2$ = $2^2 \times 3^2$

Multiplie: $4 \times 9 = 36$ = $\text{PPCM}(12, 18) = 36$

Answer: Le PPCM de $12$ et $18$ est $36$.

PPCM de trois nombres

Trouve le PPCM de $4$, $6$ et $9$.

Trouve les décompositions en facteurs premiers: $4 = 2^2$, $6 = 2 \times 3$, $9 = 3^2$ = Trois décompositions

Identifie tous les facteurs premiers: Nombres premiers utilisés : $2$ et $3$ = Deux facteurs premiers

Prends la plus haute puissance de chaque premier: Plus haute puissance de $2$ : $2^2$ (de 4). Plus haute puissance de $3$ : $3^2$ (de 9) = $2^2 \times 3^2$

Calcule le PPCM: $4 \times 9 = 36$ = $\text{PPCM}(4, 6, 9) = 36$

Answer: Le PPCM de $4$, $6$ et $9$ est $36$.

Mistake: Multiplier les nombres au lieu de trouver le PPCM

Why: Bien que $4 \times 6 = 24$ donne un multiple commun, ce n'est pas toujours le plus petit. Le PPCM de $4$ et $6$ est $12$, pas $24$.

Correct: Vérifie toujours s'il existe un multiple commun plus petit en listant ou en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

Mistake: Confondre PPCM et PGCD

Why: Le PPCM est le plus petit multiple commun ; le PGCD est le plus grand diviseur commun. Pour $4$ et $6$ : le PPCM est $12$, le PGCD est $2$.

Correct: Retiens : le PPCM utilise les multiples (plus grands nombres), le PGCD utilise les diviseurs (plus petits nombres).

Mistake: Oublier un multiple commun en listant

Why: Les élèves s'arrêtent parfois de lister trop tôt et choisissent un nombre qui n'est pas le plus petit.

Correct: Continue à lister jusqu'à trouver une correspondance dans les deux listes. La première correspondance est le PPCM.

Horaires de bus

Utilise le PPCM pour déterminer quand deux bus avec des horaires différents arriveront en même temps.

Le bus A arrive toutes les $8$ minutes et le bus B toutes les $12$ minutes. S'ils arrivent tous les deux à 9h00, quand arriveront-ils ensemble la prochaine fois ?

Additionner des fractions

Le PPCM aide à trouver le dénominateur commun lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs différents.

Pour additionner $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$, trouve $\text{PPCM}(4, 6) = 12$, puis réécris comme $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

Q: Quelle est la différence entre PPCM et PGCD ?

A: Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre dans lequel les deux nombres se divisent exactement. Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise exactement les deux nombres. Le PPCM est toujours supérieur ou égal au plus grand nombre ; le PGCD est toujours inférieur ou égal au plus petit nombre.

Q: Le PPCM de deux nombres peut-il être égal à l'un des nombres ?

A: Oui ! Si un nombre est un multiple de l'autre, le PPCM est égal au plus grand nombre. Par exemple, $\text{PPCM}(3, 6) = 6$ parce que $6$ est déjà un multiple de $3$.

Q: Existe-t-il un raccourci pour trouver le PPCM ?

A: Oui ! Tu peux utiliser la formule : $\text{PPCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{PGCD}(a, b)}$. Par exemple, pour $4$ et $6$ : le PGCD est $2$, donc PPCM $= \frac{4 \times 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$.