Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quel est le PPCM de $2$ et $3$ ?
1. a)5
2. b)1
3. c)3
4. d)6
Réponse: 6
Multiples de $2$ : $2, 4, 6, ...$ . Multiples de $3$ : $3, 6, ...$ . Le premier multiple commun est $6$ , donc $\text{PPCM}(2, 3) = 6$ .
2.
Trouve le PPCM de $4$ et $5$ .
Réponse: 20
Puisque $4$ et $5$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$ (ils sont premiers entre eux), $\text{PPCM}(4, 5) = 4 \times 5 = 20$ .
3.
Trouve le PPCM de $3$ et $6$ en listant les multiples.
Réponse: 6
1. Liste les 4 premiers multiples de 3 3, 6, 9, 12
2. Liste les 3 premiers multiples de 6 6, 12, 18
3. Quel est le plus petit nombre qui apparaît dans les deux listes ? 6
4.
Quelle affirmation sur le PPCM est VRAIE ?
1. a)PPCM est toujours plus petit que les deux nombres
2. b)PPCM est toujours le produit de deux nombres
3. c)PPCM est le plus petit multiple commun
4. d)PPCM est pareil que PGCD
Réponse: PPCM est le plus petit multiple commun
PPCM signifie Plus Petit Commun Multiple: le plus petit nombre qui est un multiple de tous les nombres donnés. Ce N'EST PAS pareil que PGCD, PAS toujours le produit, et est toujours supérieur ou égal au plus grand nombre.
5.
Trouve le PPCM de $6$ et $8$ .
Réponse: 24
Multiples de $6$ : $6, 12, 18, 24, ...$ . Multiples de $8$ : $8, 16, 24, ...$ . Le premier multiple commun est $24$ , donc $\text{PPCM}(6, 8) = 24$ .
6.
Utilise la décomposition en facteurs premiers pour trouver le PPCM de $8$ et $12$ .
Réponse: 24
1. $8 = 2^{\square}$ . Quel exposant va dans la case ? 3
2. $12 = 2^{\square} \times 3$ . Quel exposant va dans la case ? 2
3. Quelle est la plus haute puissance de 2 nécessaire ? 2^3
4. Quelle est la plus haute puissance de 3 nécessaire ? 3
5. Multiplie les plus hautes puissances : $2^3 \times 3 = ?$ 24
7.
Si $\text{PPCM}(a, b) = b$ , que doit être vrai ?
1. a)a et b sont premiers entre eux
2. b)a divise b exactement
3. c)b divise a exactement
4. d)a égale b
Réponse: a divise b exactement
Si PPCM(a, b) = b, alors b est déjà un multiple de a. Cela signifie que a divise b exactement. Exemple : PPCM(3, 6) = 6 parce que 3 divise 6.
8.
Le bus A arrive toutes les $10$ minutes et le bus B toutes les $15$ minutes. S'ils arrivent tous les deux maintenant, dans combien de minutes arriveront-ils de nouveau ensemble ?
Réponse: 30
1. Quels sont les 4 premiers multiples de 10 ? 10, 20, 30, 40
2. Quels sont les 3 premiers multiples de 15 ? 15, 30, 45
3. Au bout de combien de minutes les deux bus arrivent-ils de nouveau ensemble pour la première fois ? 30
9.
Trouve le PPCM de $9$ et $12$ .
Réponse: 36
$9 = 3^2$ et $12 = 2^2 \times 3$ . PPCM = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ .
10.
Trouve le PPCM de $4$ , $6$ et $10$ .
Réponse: 60
1. $4 = 2^{\square}$ . Quel exposant va dans la case ? 2
2. $6 = 2 \times \square$ . Quel nombre premier va dans la case ? 3
3. $10 = 2 \times \square$ . Quel nombre premier va dans la case ? 5
4. Quels nombres premiers sont nécessaires ? Écris-les séparés par des virgules. 2, 3, 5
5. Multiplie les plus hautes puissances : $2^2 \times 3 \times 5 = ?$ 60
11.
Trouve le PPCM de $15$ et $20$ .
Réponse: 60
$15 = 3 \times 5$ et $20 = 2^2 \times 5$ . PPCM = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ .
12.
Quel est le PPCM de $8$ , $12$ et $15$ ?
1. a)180
2. b)240
3. c)120
4. d)60
Réponse: 120
$8 = 2^3$ , $12 = 2^2 \times 3$ , $15 = 3 \times 5$ . PPCM = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$ .
13.
Pour additionner $\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$ , quel est le plus petit dénominateur commun ?
Réponse: 24
1. Quels sont les dénominateurs ? 6 et 8
2. $6 = 2 \times \square$ . Quel nombre premier va dans la case ? 3
3. $8 = 2^{\square}$ . Quel exposant va dans la case ? 3
4. Calcule $\text{PPCM}(6, 8) = 2^3 \times 3 = ?$ 24
14.
Si $\text{PGCD}(a, b) = 4$ et $a \times b = 96$ , quel est $\text{PPCM}(a, b)$ ?
Réponse: 24
En utilisant $\text{PPCM}(a,b) \times \text{PGCD}(a,b) = a \times b$ : $\text{PPCM}(a,b) \times 4 = 96$ , donc $\text{PPCM}(a,b) = 96 \div 4 = 24$ .
15.
Deux lumières clignotent. L'une clignote toutes les $6$ secondes, l'autre toutes les $9$ secondes. Si elles clignotent ensemble maintenant, quand clignotent-elles ensemble à nouveau ?
1. a)54 secondes
2. b)36 secondes
3. c)18 secondes
4. d)15 secondes
Réponse: 18 secondes
$\text{PPCM}(6, 9) = 18$ . Multiples de $6$ : $6, 12, 18, ...$ . Multiples de $9$ : $9, 18, ...$ . Elles clignotent ensemble dans $18$ secondes.