Décomposition en facteurs premiers

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 12 ?
1. a) $2 \times 6$
2. b) $2^2 \times 3$
3. c) $2 \times 3$
4. d) $3 \times 4$
Réponse: $2^2 \times 3$
$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$ . $2 \times 6$ et $3 \times 4$ contiennent encore des nombres composés (6 et 4), et $2 \times 3$ ne vaut que 6, pas 12.
2.
Quel nombre n'est PAS un facteur premier de 30 ?
1. a)3
2. b)2
3. c)6
4. d)5
Réponse: 6
$30 = 2 \times 3 \times 5$ . Le nombre 6 n'est pas premier (il vaut $2 \times 3$ ), donc il ne peut pas être un facteur premier.
3.
Quel est le plus petit facteur premier de 45 ?
Réponse: 3
$45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5$ . Comme 45 est impair, 2 n'est pas un facteur. Le plus petit facteur premier est 3.
4.
Combien de facteurs premiers a 8 ? (Compte avec répétition)
Réponse: 3
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$ . Il y a trois 2, donc 8 a 3 facteurs premiers (en comptant les répétitions).
5.
Trouve la décomposition en facteurs premiers de 18.
Réponse: 2 × 3²
1. 18 est-il pair ? Si oui, divise par 2. Qu'obtiens-tu ? 9
2. 9 est-il premier ou composé ? composé
3. Décompose 9 en deux facteurs premiers : $9 = 3 \times \square$ . Quel nombre va dans la case ? 3
4. Écris la décomposition avec des puissances : $18 = 2 \times 3^{\square}$ . Quel exposant va dans la case ? 2
6.
Trouve la décomposition en facteurs premiers de 20.
Réponse: 2² × 5
1. 20 est pair. Divise par 2. Qu'obtiens-tu ? 10
2. 10 est aussi pair. Divise encore par 2. Qu'obtiens-tu ? 5
3. 5 est-il premier ? oui
4. Écris la décomposition avec des puissances : $20 = 2^{\square} \times 5$ . Quel exposant va dans la case ? 2
7.
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 72 ?
1. a) $2^4 \times 3$
2. b) $2^3 \times 3^2$
3. c) $2^2 \times 3^3$
4. d) $8 \times 9$
Réponse: $2^3 \times 3^2$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$ . Note que $8 \times 9$ n'est pas une décomposition car 8 et 9 sont composés.
8.
Si $n = 2^3 \times 5^2$ , quelle est la valeur de $n$ ?
1. a)100
2. b)150
3. c)250
4. d)200
Réponse: 200
$n = 2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200$
9.
Quel est le plus grand facteur premier de 84 ?
Réponse: 7
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . Les facteurs premiers sont 2, 3 et 7. Le plus grand est 7.
10.
Combien de facteurs premiers distincts a 60 ?
Réponse: 3
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . Les facteurs premiers distincts sont 2, 3 et 5. Il y a 3 premiers distincts.
11.
Trouve la décomposition en facteurs premiers de 48.
Réponse: 2⁴ × 3
1. Divise 48 par 2. Qu'obtiens-tu ? 24
2. Divise 24 par 2. Qu'obtiens-tu ? 12
3. Divise 12 par 2. Qu'obtiens-tu ? 6
4. Divise 6 par 2. Qu'obtiens-tu ? 3
5. Écris la décomposition avec des puissances : $48 = 2^{\square} \times 3$ . Quel exposant va dans la case ? 4
12.
Trouve la décomposition en facteurs premiers de 90.
Réponse: 2 × 3² × 5
1. 90 est-il divisible par 2 ? oui
2. Que vaut 90 / 2 ? 45
3. 45 est-il divisible par 3 ? Si oui, que vaut 45 / 3 ? 15
4. Que vaut 15 / 3 ? 5
5. Écris la décomposition avec des puissances : $90 = 2 \times 3^{\square} \times 5$ . Quel exposant va dans la case ? 2
13.
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 225 ?
1. a) $3^3 \times 5$
2. b) $3 \times 5^3$
3. c) $15^2$
4. d) $3^2 \times 5^2$
Réponse: $3^2 \times 5^2$
$225 = 15 \times 15 = (3 \times 5)(3 \times 5) = 3^2 \times 5^2$ . Note : $15^2$ égale 225 mais n'est pas une décomposition car 15 est composé.
14.
Si $n = 2^a \times 3^b$ et $n = 108$ , quelle est la valeur de $a + b$ ?
Réponse: 5
$108 = 4 \times 27 = 2^2 \times 3^3$ . Donc $a = 2$ et $b = 3$ , donnant $a + b = 5$ .
15.
Trouve la décomposition en facteurs premiers de 360.
Réponse: 2³ × 3² × 5
1. 360 se termine par 0, donc il est divisible par 10. Que vaut 360 / 10 ? 36
2. Décompose 10 en facteurs premiers : $10 = 2 \times \square$ . Quel nombre premier va dans la case ? 5
3. Décompose maintenant 36 : $36 = 2^2 \times 3^{\square}$ . Quel exposant va dans la case ? 2
4. Regroupe : $360 = (2 \times 5) \times (2^2 \times 3^2) = 2^{\square} \times 3^2 \times 5$ . Quel est l'exposant de 2 ? 3
16.
Trouve la décomposition en facteurs premiers de 504.
Réponse: 2³ × 3² × 7
1. 504 est pair. Divise par 2 jusqu'à obtenir un nombre impair. Lequel ? 63
2. Combien de fois as-tu divisé par 2 ? 3
3. Maintenant factorise 63. Est-il divisible par 3 ? oui
4. Que vaut 63 / 3 / 3 ? 7
5. Écris la décomposition avec des puissances : $504 = 2^3 \times 3^{\square} \times 7$ . Quel exposant va dans la case ? 2