Conversion de la forme générale à la forme canonique

Convertis $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ en forme canonique et trouve le centre et le rayon.

Regroupe les termes en $x$ et $y$: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$ = Déplace la constante à droite

Complète le carré pour $x$: La moitié de $-6$ est $-3$, et $(-3)^2 = 9$ = Ajoute 9 des deux côtés

Complète le carré pour $y$: La moitié de $4$ est $2$, et $(2)^2 = 4$ = Ajoute 4 des deux côtés

Réécris comme carrés parfaits: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4$ = $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Identifie le centre et le rayon: Centre : $(3, -2)$, Rayon : $\sqrt{25} = 5$ = Cercle de centre $(3, -2)$ et rayon $5$

Answer: Forme canonique : $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$. Centre : $(3, -2)$, Rayon : $5$

Utilisation de la méthode par formule

Trouve le centre et le rayon de $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 16 = 0$ en utilisant la formule.

Identifie $D$, $E$ et $F$: $D = 8$, $E = -10$, $F = 16$ = Coefficients identifiés

Trouve le centre: $h = -\frac{D}{2} = -\frac{8}{2} = -4$, $k = -\frac{E}{2} = -\frac{-10}{2} = 5$ = Centre : $(-4, 5)$

Calcule le rayon: $r = \sqrt{\frac{64}{4} + \frac{100}{4} - 16} = \sqrt{16 + 25 - 16}$ = $r = \sqrt{25} = 5$

Écris la forme canonique: $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 25$ = Forme canonique complète

Answer: Centre : $(-4, 5)$, Rayon : $5$. Forme canonique : $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Vérifier si un cercle existe

Détermine si $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$ représente un cercle réel.

Identifie les coefficients: $D = 6$, $E = -2$, $F = 15$ = Coefficients trouvés

Calcule $D^2/4$: $36/4 = 9$ = $D^2/4 = 9$

Calcule $E^2/4$: $4/4 = 1$ = $E^2/4 = 1$

Vérifie si $r^2 = D^2/4 + E^2/4 - F > 0$: $9 + 1 - 15 = -5$ = $r^2 = -5 < 0$

Conclusion: Puisque $r^2 < 0$, on ne peut pas prendre la racine carrée = Aucun cercle réel n'existe

Answer: Aucun cercle réel n'existe car $r^2 = -5 < 0$ (nécessiterait un rayon imaginaire)

Mistake: Oublier d'ajouter la valeur complétée des DEUX côtés

Why: Lorsque tu complètes le carré, tu ajoutes au côté gauche. Pour équilibrer l'équation, tu dois ajouter la même valeur au côté droit.

Correct: Si tu ajoutes 9 pour compléter $(x-3)^2$ à gauche, ajoute aussi 9 à droite.

Mistake: Utiliser les mauvais signes pour les coordonnées du centre

Why: La forme canonique $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ a une SOUSTRACTION, donc $(x+4)^2$ signifie $h = -4$, pas $4$.

Correct: Si tu vois $(x + 4)^2$, pense à $(x - (-4))^2$, donc $h = -4$.

Mistake: Oublier de prendre la racine carrée pour trouver le rayon

Why: Le côté droit de la forme canonique est égal à $r^2$, pas $r$.

Correct: Si $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 25$, alors $r = \sqrt{25} = 5$, pas $r = 25$.

Couverture d'antenne-relais

Les antennes-relais diffusent des signaux selon des motifs circulaires. Les ingénieurs utilisent des équations de cercle pour déterminer les zones de couverture.

Une antenne aux coordonnées $(-2, 3)$ km a une portée de 8 km. Sa couverture est modélisée par $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 64$.

Détection de séismes

Les sismographes détectent des ondes sismiques qui se propagent en cercles depuis l'épicentre.

Si trois stations détectent des ondes à différents moments, l'intersection de leurs cercles localise l'épicentre.

Q: Quand n'y a-t-il pas de cercle ?

A: Si $\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F < 0$, le rayon serait la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui n'est pas réel. Cela signifie que l'équation ne représente pas un cercle réel (un cercle imaginaire).

Q: Que se passe-t-il si le calcul du rayon donne zéro ?

A: Si $\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F = 0$, le rayon est zéro. Cela représente un point unique (un cercle dégénéré) situé au centre $(-D/2, -E/2)$.

Q: Puis-je utiliser la complétion du carré pour toute conique ?

A: Oui ! La complétion du carré est essentielle pour convertir toute conique (cercles, ellipses, paraboles, hyperboles) de la forme générale à la forme canonique.