Tracer une courbe de croissance à partir d'un tableau

Trace $y = 3 \cdot 2^x$ pour $x = -2$ à $x = 3$. Donne l'ordonnée à l'origine, l'asymptote, l'ensemble de définition et l'ensemble des images.

Calcule les valeurs pour $x$ négatif: $3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ et $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ = Points $(-2 ; 0{,}75)$ et $(-1 ; 1{,}5)$

Calcule les valeurs pour $x = 0$ à $3$: $3 \cdot 2^0 = 3$, $3 \cdot 2^1 = 6$, $3 \cdot 2^2 = 12$, $3 \cdot 2^3 = 24$ = Points $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$

Place les points et relie-les: Chaque pas vers la droite double $y$ ; chaque pas vers la gauche le divise par deux = Une courbe croissante, plate à gauche et raide à droite

Lis les caractéristiques: $a = 3$ donne l'ordonnée à l'origine ; rien n'est ajouté, donc $k = 0$ = Ordonnée à l'origine 3, point $(0, 3)$, asymptote $y = 0$, ensemble de définition tous les réels, ensemble des images $y > 0$

Answer: La courbe passe par $(-2 ; 0{,}75)$, $(-1 ; 1{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$. Elle monte de gauche à droite, coupe l'axe des ordonnées en $(0, 3)$, s'approche de l'asymptote $y = 0$ à gauche, a pour ensemble de définition tous les réels et pour ensemble des images $y > 0$.

Une courbe décroissante : base entre 0 et 1

Trace $y = 8 \cdot (0{,}5)^x$ pour $x = -2$ à $x = 3$ et compare-la à la courbe de $y = 8 \cdot 2^x$.

Calcule les valeurs: $8 \cdot (0{,}5)^{-2} = 8 \cdot 4 = 32$, $8 \cdot (0{,}5)^{-1} = 16$, $8 \cdot (0{,}5)^0 = 8$, $8 \cdot (0{,}5)^1 = 4$, $8 \cdot (0{,}5)^2 = 2$, $8 \cdot (0{,}5)^3 = 1$ = Points $(-2, 32)$, $(-1, 16)$, $(0, 8)$, $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

Décris la forme: Chaque pas vers la droite divise $y$ par deux, donc la courbe descend et s'aplatit vers l'axe des abscisses à droite = Courbe décroissante, asymptote $y = 0$

Compare avec $y = 8 \cdot 2^x$: $(0{,}5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$, donc $8 \cdot (0{,}5)^x = 8 \cdot 2^{-x}$ : la valeur en $x$ est égale à la valeur de $8 \cdot 2^x$ en $-x$ = Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

Answer: La courbe descend de $(-2, 32)$ en passant par $(0, 8)$ jusqu'à $(3, 1)$ et s'approche de $y = 0$ à droite. Elle est la symétrique de $y = 8 \cdot 2^x$ par rapport à l'axe des ordonnées ; les deux ont le point $(0, 8)$ sur l'axe des ordonnées, l'asymptote $y = 0$ et l'ensemble des images $y > 0$.

Translater une courbe vers la droite et vers le haut

Esquisse $y = 2^{x-1} + 3$. Trouve l'asymptote, l'ordonnée à l'origine, l'ensemble de définition et l'ensemble des images.

Identifie la transformation: Compare avec $y = a \cdot b^{x-h} + k$ : $a = 1$, $b = 2$, $h = 1$, $k = 3$ = Translater $y = 2^x$ de 1 vers la droite et de 3 vers le haut

Déplace trois points de $y = 2^x$: $(0, 1) \to (1, 4)$, $(1, 2) \to (2, 5)$, $(2, 4) \to (3, 7)$ : ajoute 1 à chaque $x$ et 3 à chaque $y$ = Points $(1, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$

Déplace l'asymptote: L'asymptote $y = 0$ monte de 3 unités ; la translation horizontale ne la change pas = Asymptote $y = 3$

Trouve l'ordonnée à l'origine: Remplace $x$ par $0$ : $2^{0-1} + 3 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$ = Ordonnée à l'origine 3,5, point $(0 ; 3{,}5)$

Donne l'ensemble de définition et l'ensemble des images: $a > 0$, donc la courbe reste au-dessus de $y = 3$ = Ensemble de définition tous les réels, ensemble des images $y > 3$

Answer: La courbe est celle de $y = 2^x$ translatée de 1 vers la droite et de 3 vers le haut : elle passe par $(0 ; 3{,}5)$, $(1, 4)$, $(2, 5)$ et $(3, 7)$, a pour asymptote $y = 3$, pour ensemble de définition tous les réels et pour ensemble des images $y > 3$.

Une courbe symétrique sous son asymptote

Dresse un tableau de valeurs pour $y = -2^x + 4$ de $x = -2$ à $x = 3$. Décris la courbe et trouve où elle coupe l'axe des abscisses.

Lis correctement l'expression: $-2^x$ signifie $-(2^x)$ : on calcule d'abord $2^x$, puis on change le signe. Donc $a = -1$, $b = 2$, $k = 4$ = Symétrique de $y = 2^x$ par rapport à l'axe des abscisses, puis 4 vers le haut

Calcule les valeurs: $x = -2$ : $-0{,}25 + 4 = 3{,}75$ ; $x = -1$ : $-0{,}5 + 4 = 3{,}5$ ; $x = 0$ : $-1 + 4 = 3$ ; $x = 1$ : $-2 + 4 = 2$ ; $x = 2$ : $-4 + 4 = 0$ ; $x = 3$ : $-8 + 4 = -4$ = Points $(-2 ; 3{,}75)$, $(-1 ; 3{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 0)$, $(3, -4)$

Trouve l'asymptote et l'ensemble des images: Très loin à gauche, $2^x$ est très proche de 0, donc $y$ s'approche de 4 par en dessous = Asymptote $y = 4$, ensemble des images $y < 4$

Trouve l'intersection avec l'axe des abscisses: $-2^x + 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ = Point $(2, 0)$

Answer: La courbe descend depuis juste sous $y = 4$ à gauche, passe par $(0, 3)$ et $(2, 0)$, puis plonge jusqu'à $(3, -4)$. Asymptote $y = 4$, ensemble de définition tous les réels, ensemble des images $y < 4$, intersection avec l'axe des abscisses $(2, 0)$, ordonnée à l'origine 3.

Trouver l'équation à partir de deux points

La courbe de $y = a \cdot b^x$ passe par $(1, 6)$ et $(3, 24)$. Trouve $a$ et $b$, puis l'ordonnée à l'origine.

Écris une équation pour chaque point: $a \cdot b^1 = 6$ et $a \cdot b^3 = 24$ = Deux équations en $a$ et $b$

Divise la deuxième équation par la première: $\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = \frac{24}{6} \Rightarrow b^2 = 4$ = $b = 2$ (la base doit être positive)

Remplace $b$ pour trouver $a$: $a \cdot 2 = 6 \Rightarrow a = 3$ = $a = 3$

Écris l'équation et vérifie: $y = 3 \cdot 2^x$ ; vérification avec $(3, 24)$ : $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ = Ordonnée à l'origine 3, point $(0, 3)$

Answer: $y = 3 \cdot 2^x$, donc $a = 3$, $b = 2$ et la courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0, 3)$. Avec les points $(0, 3)$ et $(1, 6)$, c'est encore plus rapide : $a$ est la valeur de $y$ en $x = 0$, et $b = 6 \div 3 = 2$.

Mistake: Garder l'asymptote en $y = 0$ après une translation verticale, par exemple pour $y = 2^x + 3$

Why: Ajouter $k$ fait monter chaque point de $k$, y compris le niveau dont la courbe s'approche. La courbe de $y = 2^x + 3$ ne descend jamais sous 3.

Correct: Pour $y = a \cdot b^{x-h} + k$, l'asymptote est $y = k$. Pour $y = 2^x + 3$, c'est $y = 3$ et l'ensemble des images est $y > 3$.

Mistake: Translater dans le mauvais sens : croire que $y = 2^{x-3}$ déplace la courbe de 3 vers la gauche

Why: Avec $x - 3$, il faut un $x$ plus grand pour obtenir le même exposant qu'avant. Le point $(0, 1)$ de $y = 2^x$ se trouve maintenant en $(3, 1)$.

Correct: $x - h$ translate de $h$ vers la droite, $x + h$ de $h$ vers la gauche. $y = 2^{x-3}$ va 3 vers la droite, $y = 2^{x+3}$ va 3 vers la gauche.

Mistake: Prendre $a$ (ou $a + k$) comme ordonnée à l'origine alors que la courbe est aussi translatée horizontalement

Why: L'ordonnée à l'origine vaut $a$ seulement pour $y = a \cdot b^x$. Après une translation horizontale, l'exposant en $x = 0$ n'est plus 0.

Correct: Remplace toujours $x$ par $0$. Pour $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$, ni 1 ni 4.

Mistake: Traiter $-2^x$ comme $(-2)^x$

Why: Les puissances se calculent avant le signe moins, donc $-2^x = -(2^x)$. La base est 2, pas $-2$, et $(-2)^x$ n'est même pas une fonction exponentielle.

Correct: $-2^x$ est la courbe de $2^x$ symétrisée par rapport à l'axe des abscisses : en $x = 2$ elle donne $-4$, alors que $(-2)^2 = 4$.

Lire des données de laboratoire sur une courbe

Les biologistes représentent le nombre de cellules en fonction du temps. Si les points sont sur une courbe exponentielle, deux mesures suffisent pour écrire le modèle et prévoir les nombres suivants.

Une culture de 100 cellules au départ et de 200 cellules une heure plus tard suit $y = 100 \cdot 2^x$, donc après 4 heures la courbe est à $100 \cdot 16 = 1600$ cellules.

Vues d'une vidéo avec un niveau de base

Certaines grandeurs ont une partie qui croît exponentiellement en plus d'une partie constante. La partie constante est la translation verticale $k$, et sur la courbe c'est l'asymptote.

Une vidéo reçoit chaque jour 100 vues stables grâce à la recherche, plus une partie partagée qui double chaque jour : $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$. En remontant le temps, la partie partagée tend vers 0, donc la courbe s'approche de $V = 100$.

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double l'épaisseur d'une feuille, donc l'épaisseur après $n$ pliages est une fonction exponentielle dont la courbe monte de plus en plus vite.

Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur a une épaisseur $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Après 7 pliages, cela fait $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

Q: Une courbe exponentielle touche-t-elle un jour son asymptote ?

A: Non. Pour $y = a \cdot b^x + k$, le terme $a \cdot b^x$ n'est jamais nul, donc $y$ n'est jamais égal à $k$. La courbe s'en approche autant qu'on veut, c'est pourquoi l'ensemble des images est $y > k$ ou $y < k$ et ne contient jamais $k$.

Q: Combien de points faut-il pour esquisser la courbe ?

A: Quatre ou cinq suffisent : le point sur l'axe des ordonnées, un ou deux points de chaque côté, et l'asymptote. Un tableau de $x = -2$ à $x = 3$ montre à la fois le côté plat et le côté raide.

Q: Pourquoi $y = 2^x$ et $y = (0{,}5)^x$ semblent-elles symétriques ?

A: Parce que $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. La valeur de $(0{,}5)^x$ en $x = 3$ est égale à la valeur de $2^x$ en $x = -3$, donc chaque point $(x, y)$ d'une courbe a son partenaire $(-x, y)$ sur l'autre.

Q: Une translation horizontale change-t-elle l'asymptote ?

A: Non. Une translation vers la gauche ou la droite fait glisser la courbe le long de l'asymptote, qui reste en $y = k$. Seule la translation verticale $k$ déplace l'asymptote. En revanche, une translation horizontale change l'ordonnée à l'origine.