Compter les demi-vies

Un échantillon de laboratoire contient $80$ mg d'une substance dont la demi-vie est de $4$ heures. Combien en reste-t-il après $12$ heures ?

Trouve le nombre de demi-vies: $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ = 3 demi-vies

Écris la formule: $N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = Formule posée

Calcule la puissance: $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ = Il reste $\frac{1}{8}$ de l'échantillon

Multiplie: $80 \times \frac{1}{8} = 10$ (ou divise trois fois par deux : $80 \to 40 \to 20 \to 10$) = $10$ mg

Answer: Après 12 heures, il reste **10 mg** de la substance.

L'iode 131 à l'hôpital

L'iode 131 a une demi-vie de $8$ jours. Un hôpital en possède $200$ mg. Combien en reste-t-il après $40$ jours, et quel pourcentage cela représente-t-il ?

Trouve le nombre de demi-vies: $\frac{40}{8} = 5$ = 5 demi-vies

Trouve la fraction restante: $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32}$

Calcule la quantité: $200 \times \frac{1}{32} = 6{,}25$ = $6{,}25$ mg

Écris-la en pourcentage: $\frac{1}{32} = 0{,}03125 = 3{,}125\,\%$ = $3{,}125\,\%$

Answer: Après 40 jours, il reste **6,25 mg**, soit **3,125 %** de la quantité initiale.

Quel âge a cet os ? (carbone 14)

Un os contient $\frac{1}{8}$ du carbone 14 qu'il contenait quand l'animal était vivant. La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans. Quel âge a l'os ?

Écris la fraction comme une puissance de $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $n = 3$

Interprète l'exposant: L'exposant est le nombre de demi-vies : $\frac{t}{5730} = 3$ = 3 demi-vies se sont écoulées

Calcule le temps: $t = 3 \times 5730 = 17190$ = $17190$ ans

Answer: L'os a environ **17190 ans**.

Trouver la demi-vie à partir de mesures

Un échantillon de $96$ g diminue jusqu'à $12$ g en $15$ heures. Quelle est sa demi-vie ?

Trouve combien de fois l'échantillon est plus petit: $\frac{96}{12} = 8$ = L'échantillon est 8 fois plus petit

Écris 8 comme une puissance de 2: $8 = 2^3$, donc $96 \to 48 \to 24 \to 12$ = 3 demi-vies

Divise le temps par le nombre de demi-vies: $T = \frac{15}{3} = 5$ = $T = 5$ heures

Vérifie: $96 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 96 \times \frac{1}{8} = 12$ ✓ = Correct

Answer: La demi-vie est de **5 heures**.

Un médicament entre deux demi-vies

Un patient prend $400$ mg d'un médicament dont la demi-vie est de $6$ heures. Combien en reste-t-il dans le sang après $9$ heures ? Utilise $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ et arrondis au dixième.

Trouve le nombre de demi-vies: $\frac{9}{6} = 1{,}5$ = 1,5 demi-vie (pas un nombre entier)

Écris la formule: $N(9) = 400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$ = Formule posée

Utilise la puissance donnée: $400 \times 0{,}3536 = 141{,}44$ = $\approx 141{,}4$ mg

Vérifie que le résultat a du sens: Après 6 heures il reste $200$ mg, après 12 heures $100$ mg. $141{,}4$ est entre les deux ✓ = Cohérent

Answer: Après 9 heures, il reste environ **141,4 mg** du médicament dans le sang.

Mistake: Diviser par deux à chaque heure (ou jour, ou année) au lieu d'une fois par demi-vie

Why: Avec une demi-vie de 4 heures, certains élèves calculent $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ après 12 heures. Mais la quantité ne diminue de moitié que toutes les 4 heures, pas toutes les heures.

Correct: L'exposant est le nombre de demi-vies $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$, donc le résultat est $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$.

Mistake: Retirer la moitié de la quantité INITIALE à chaque demi-vie

Why: Calculer $100 \to 50 \to 0$ revient à traiter la décroissance comme linéaire. Chaque demi-vie enlève la moitié de ce qui reste MAINTENANT, pas la moitié de la quantité de départ.

Correct: Divise la quantité actuelle par deux à chaque fois : $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$. Un échantillon n'atteint jamais exactement zéro.

Mistake: Prendre le dénominateur comme nombre de demi-vies

Why: S'il reste $\frac{1}{8}$, certains élèves disent que 8 demi-vies se sont écoulées. Mais après 8 demi-vies, il ne resterait que $\frac{1}{256}$.

Correct: Écris le dénominateur comme une puissance de 2 : $8 = 2^3$, donc 3 demi-vies se sont écoulées.

Mistake: Confondre la fraction restante et la fraction désintégrée

Why: Après 3 demi-vies, il reste $\frac{1}{8}$, donc $\frac{7}{8}$ se sont désintégrés. La question peut porter sur l'une ou l'autre.

Correct: Lis bien la question : fraction désintégrée $= 1 -$ fraction restante. Après 3 demi-vies : $12{,}5\,\%$ restant, $87{,}5\,\%$ désintégré.

Datation au carbone 14

Les êtres vivants absorbent du carbone 14. Après leur mort, il se désintègre avec une demi-vie de 5730 ans, donc la fraction restante révèle l'âge des os, du bois et du charbon de bois.

Un morceau de bois qui contient $\frac{1}{4}$ de son carbone 14 d'origine a $2 \times 5730 = 11460$ ans.

Les médicaments dans le sang

Les médecins utilisent la demi-vie d'un médicament pour décider quand donner la dose suivante, afin que la quantité dans le corps reste sûre et efficace.

D'une dose de $400$ mg avec une demi-vie de $6$ heures, il reste $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg après $12$ heures.

Traitement à l'iode 131

L'iode 131 sert à traiter les maladies de la thyroïde. Sa demi-vie de 8 jours indique à l'hôpital à quelle vitesse le rayonnement diminue et quand les restes peuvent être stockés ou éliminés sans danger.

$100$ mg d'iode 131 deviennent $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg après $16$ jours.

Q: Une substance finit-elle par disparaître complètement ?

A: Mathématiquement, non : $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ n'est jamais nul. En pratique, après environ 10 demi-vies, il reste moins de $0{,}1\,\%$ ($\frac{1}{1024}$), ce qu'on considère généralement comme disparu.

Q: Pourquoi l'exposant est-il $\frac{t}{T}$ et pas simplement $t$ ?

A: Le facteur $\frac{1}{2}$ s'applique une fois par demi-vie, pas une fois par unité de temps. En divisant le temps $t$ par la demi-vie $T$, on compte le nombre de demi-vies écoulées.

Q: Et si le temps n'est pas un nombre entier de demi-vies ?

A: La formule fonctionne quand même, par exemple $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Utilise une calculatrice (tape 400 × 0.5^1.5) ou une valeur donnée comme $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Trouver un temps inconnu dans ce cas demande les logarithmes, qui viendront dans une leçon ultérieure.

Q: Quel lien y a-t-il entre la demi-vie et le taux de décroissance ?

A: Dans la leçon sur la décroissance exponentielle, une quantité est multipliée par $b = 1 - r$ à chaque unité de temps. La demi-vie utilise la même idée, mais choisit l'unité de temps pour que le facteur soit exactement $\frac{1}{2}$, ce qui rend le calcul mental bien plus facile.