Identifier les fonctions exponentielles

Déterminez quelle fonction est exponentielle : $f(x) = 3x^2$, $g(x) = 2^x$, $h(x) = x^3$

Vérifiez $f(x) = 3x^2$: La variable $x$ est dans la base, élevée à la puissance 2 = Quadratique (polynôme), pas exponentielle

Vérifiez $g(x) = 2^x$: La variable $x$ est dans l'exposant, la base est constante 2 = C'EST exponentiel : $a = 1$, $b = 2$

Vérifiez $h(x) = x^3$: La variable $x$ est dans la base, élevée à la puissance 3 = Cubique (polynôme), pas exponentielle

Answer: $g(x) = 2^x$ est la fonction exponentielle car la variable est dans l'exposant.

Tracer une fonction de croissance exponentielle

Tracez $f(x) = 2^x$ en créant un tableau de valeurs.

Calculez $f(-2)$: $f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ = Point : $(-2 ; 0{,}25)$

Calculez $f(-1)$: $f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ = Point : $(-1 ; 0{,}5)$

Calculez $f(0)$: $f(0) = 2^0 = 1$ = Point : $(0 ; 1)$ — l'ordonnée à l'origine

Calculez $f(1)$: $f(1) = 2^1 = 2$ = Point : $(1 ; 2)$

Calculez $f(2)$: $f(2) = 2^2 = 4$ = Point : $(2 ; 4)$

Calculez $f(3)$: $f(3) = 2^3 = 8$ = Point : $(3 ; 8)$

Décrivez le graphique: Quand $x$ augmente, $y$ double. Quand $x$ diminue, $y$ s'approche de 0 mais ne l'atteint jamais. = Courbe de croissance exponentielle

Answer: Le graphique passe par $(0;1)$, monte rapidement vers la droite et s'approche de l'axe des x (asymptote) vers la gauche.

Fonction de décroissance exponentielle

Une substance radioactive décroît selon $A(t) = 100 \cdot (0{,}5)^t$, où $t$ est le temps en heures. Trouvez la quantité restante après 3 heures.

Identifiez les composants: Quantité initiale $a = 100$, facteur de décroissance $b = 0{,}5$, temps $t = 3$ = C'est une décroissance exponentielle car $0 < b < 1$

Substituez $t = 3$: $A(3) = 100 \cdot (0{,}5)^3$ = $A(3) = 100 \cdot (0{,}5)^3$

Calculez $(0{,}5)^3$: $(0{,}5)^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125$ = $(0{,}5)^3 = 0{,}125$

Multipliez par 100: $A(3) = 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5$ = Il reste 12,5 grammes

Answer: Après 3 heures, il reste 12,5 grammes de la substance. Chaque heure, la moitié de la substance se désintègre.

Intérêts composés

Vous investissez 1000 euros à 5% d'intérêt annuel composé. Écrivez la fonction et trouvez la valeur après 10 ans.

Écrivez la formule des intérêts composés: $A(t) = P(1 + r)^t$ où $P$ = capital, $r$ = taux, $t$ = années = Modèle de croissance exponentielle

Identifiez les valeurs: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, donc $b = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$ = $A(t) = 1000 \cdot (1{,}05)^t$

Calculez pour $t = 10$: $A(10) = 1000 \cdot (1{,}05)^{10}$ = Il faut calculer $(1{,}05)^{10}$

Évaluez $(1{,}05)^{10}$: $(1{,}05)^{10} \approx 1{,}6289$ = Multiplicateur de croissance après 10 ans

Calcul final: $A(10) = 1000 \cdot 1{,}6289 \approx 1628{,}89$ = Environ 1628,89 euros

Answer: Après 10 ans, l'investissement atteint environ 1628,89 euros — un gain d'environ 629 euros uniquement grâce aux intérêts.

Mistake: Confondre $2^x$ avec $x^2$

Why: Dans $2^x$, la variable est l'exposant (exponentielle). Dans $x^2$, la variable est la base (polynôme).

Correct: Regardez OÙ se trouve la variable : exposant = fonction exponentielle, base = fonction polynomiale.

Mistake: Penser que le graphique peut croiser ou toucher l'axe des x

Why: Puisque $b^x > 0$ pour tout $x$ réel (quand $b > 0$), et que $a \cdot b^x$ préserve cela (pour $a > 0$), la fonction n'est jamais nulle.

Correct: L'axe des x est une asymptote horizontale. Le graphique s'en approche infiniment mais ne l'atteint jamais.

Mistake: Oublier que $b^0 = 1$, pas 0

Why: Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 égale 1. C'est pourquoi les fonctions exponentielles passent par $(0, a)$.

Correct: $f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a$. L'ordonnée à l'origine est toujours $a$.

Mistake: Utiliser une base négative

Why: Les bases négatives posent problème : $(-2)^{0{,}5}$ n'est pas un nombre réel. On se limite à $b > 0$.

Correct: La base $b$ doit être positive. Pour la décroissance, utilisez $0 < b < 1$, pas de nombres négatifs.

Intérêts composés en banque

Les banques utilisent les fonctions exponentielles pour calculer comment vos économies croissent avec les intérêts composés.

Avec 5% d'intérêt annuel composé, 1000 euros deviennent $1000 \cdot (1{,}05)^{20} \approx 2653$ euros après 20 ans.

Croissance démographique

Les biologistes modélisent la croissance des populations avec des fonctions exponentielles quand les ressources sont illimitées.

Une colonie de bactéries qui double chaque heure suit $P(t) = P_0 \cdot 2^t$. En partant de 100 bactéries, après 8 heures il y en a $100 \cdot 2^8 = 25\,600$.

Décroissance radioactive en médecine

L'imagerie médicale utilise des traceurs radioactifs qui décroissent de façon exponentielle, permettant aux médecins de suivre leur mouvement dans le corps.

Le technétium-99m a une demi-vie de 6 heures. Si vous commencez avec 100 mg, après 18 heures (3 demi-vies) il reste $100 \cdot (0{,}5)^3 = 12{,}5$ mg.

Q: Quelle est la différence entre les fonctions exponentielles et polynomiales ?

A: Dans les fonctions exponentielles comme $2^x$, la variable est dans l'exposant. Dans les fonctions polynomiales comme $x^2$, la variable est dans la base. Cela fait que les fonctions exponentielles croissent beaucoup plus vite pour de grands $x$.

Q: Pourquoi la base doit-elle être positive ?

A: Les bases négatives posent des problèmes avec les exposants non entiers. Par exemple, $(-4)^{0{,}5} = \sqrt{-4}$ n'est pas un nombre réel. On se limite à $b > 0$ pour garder des résultats réels.

Q: Quel rapport entre le nombre $e \approx 2{,}718$ et les fonctions exponentielles ?

A: La constante $e$ est la base de la fonction exponentielle naturelle $f(x) = e^x$. Elle apparaît naturellement en analyse et est utilisée dans les modèles de croissance continue comme les intérêts composés continus.

Q: La décroissance exponentielle peut-elle atteindre zéro ?

A: Mathématiquement, non. La fonction s'approche de zéro mais ne l'atteint jamais (comportement asymptotique). En pratique, on peut considérer la quantité comme négligeable après de nombreuses demi-vies.