Fonctions réciproques

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Si $f(3) = 7$ , que vaut $f^{-1}(7)$ ?
1. a) $3$
2. b) $7$
3. c) $\frac{1}{7}$
4. d) $-7$
Réponse: $3$
Si $f(3) = 7$ , alors $f^{-1}(7) = 3$ car la réciproque inverse la fonction. Ce qui entre sort, et ce qui sort entre.
2.
Quel test détermine si une fonction a une réciproque ?
1. a)Test de l'origine
2. b)Test de la ligne verticale
3. c)Test de symétrie
4. d)Test de la ligne horizontale
Réponse: Test de la ligne horizontale
Le test de la ligne horizontale détermine si une fonction est bijective. Si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois, la fonction échoue au test et n'a pas de réciproque.
3.
Le graphique de $f^{-1}(x)$ est la réflexion de $f(x)$ par rapport à quelle droite ?
1. a) $y = 0$
2. b) $y = -x$
3. c) $x = 0$
4. d) $y = x$
Réponse: $y = x$
Puisque la réciproque échange les valeurs de x et y, le point $(a, b)$ sur $f$ devient $(b, a)$ sur $f^{-1}$ . C'est exactement ce que fait la réflexion par rapport à la droite $y = x$ .
4.
Quelle fonction N'A PAS de réciproque ?
1. a) $f(x) = 2x + 1$
2. b) $f(x) = 3x - 5$
3. c) $f(x) = x^3$
4. d) $f(x) = x^2$
Réponse: $f(x) = x^2$
$f(x) = x^2$ n'a pas de réciproque car $f(2) = f(-2) = 4$ . Deux entrées différentes donnent la même sortie, donc elle échoue au test de la ligne horizontale. Les autres fonctions sont toutes bijectives.
5.
Si $f(x) = 4x - 8$ , que vaut $f^{-1}(x)$ ?
1. a) $4x + 8$
2. b) $\frac{1}{4x - 8}$
3. c) $\frac{x - 8}{4}$
4. d) $\frac{x + 8}{4}$
Réponse: $\frac{x + 8}{4}$
Commence avec $y = 4x - 8$ . Échange : $x = 4y - 8$ . Ajoute 8 : $x + 8 = 4y$ . Divise par 4 : $y = \frac{x + 8}{4}$ . Donc $f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{4}$ .
6.
Si $f(5) = 12$ , que vaut $f^{-1}(12)$ ?
Réponse: 5
Puisque $f(5) = 12$ , la fonction réciproque ramène 12 à 5. Donc, $f^{-1}(12) = 5$ .
7.
Trouve $f^{-1}(x)$ si $f(x) = x + 7$ . Écris ta réponse sous la forme $x - ?$
Réponse: 7
Si $f(x) = x + 7$ ajoute 7, alors $f^{-1}(x) = x - 7$ soustrait 7 pour annuler. La réponse est 7.
8.
Si $f(x) = 3x$ et $g(x) = \frac{x}{3}$ , calcule $f(g(9))$ .
Réponse: 9
D'abord, $g(9) = \frac{9}{3} = 3$ . Puis $f(g(9)) = f(3) = 3 \times 3 = 9$ . Comme $f$ et $g$ sont réciproques, leur composition retourne l'entrée originale.
9.
Trouve $f^{-1}(0)$ si $f(x) = 2x - 6$ .
Réponse: 3
La réciproque est $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{2}$ . Donc $f^{-1}(0) = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .
10.
Si $f(x) = \frac{x + 2}{3}$ , trouve $f^{-1}(4)$ .
Réponse: 10
Commence avec $y = \frac{x + 2}{3}$ . Échange : $x = \frac{y + 2}{3}$ . Multiplie par 3 : $3x = y + 2$ . Soustrais 2 : $y = 3x - 2$ . Donc $f^{-1}(x) = 3x - 2$ et $f^{-1}(4) = 3(4) - 2 = 10$ .
11.
Le domaine de $f^{-1}$ égale l'image de $f$ . Si $f(x) = x^2$ avec domaine $x \geq 0$ , quel est le domaine de $f^{-1}$ ? (Réponse : $x \geq$ ?)
Réponse: 0
Quand $x \geq 0$ , $f(x) = x^2$ produit des sorties $y \geq 0$ (l'image). Puisque le domaine de $f^{-1}$ égale l'image de $f$ , le domaine de $f^{-1}$ est $x \geq 0$ .
12.
Trouve la réciproque de $f(x) = x - 4$
Réponse: x + 4
1. Écris $y = x - 4$ . Échange maintenant x et y. Quelle équation obtiens-tu ? x = y - 4
2. Résous pour y en ajoutant 4 aux deux côtés : y = x + 4
3. Écris la fonction réciproque : x + 4
13.
Trouve la réciproque de $f(x) = 5x + 10$
Réponse: (x - 10) / 5
1. Écris $y = 5x + 10$ . Après avoir échangé x et y, quelle équation as-tu ? x = 5y + 10
2. Soustrais 10 des deux côtés : x - 10 = 5y
3. Divise les deux côtés par 5 pour résoudre pour y : (x - 10) / 5
4. Écris $f^{-1}(x)$ = (x - 10) / 5
14.
Vérifie que $f(x) = 2x - 4$ et $g(x) = \frac{x + 4}{2}$ sont réciproques en montrant que $f(g(x)) = x$
Réponse: x
1. Écris $g(x)$ : (x + 4) / 2
2. Substitue $g(x)$ dans $f$ : $f(g(x)) = 2 \cdot \frac{x + 4}{2} - 4$ . Simplifie $2 \cdot \frac{x + 4}{2}$ : x + 4
3. Maintenant soustrais 4 : $(x + 4) - 4 =$ x
4. Donc, $f(g(x)) =$ x
15.
Trouve la réciproque de $f(x) = \frac{x}{3} + 2$
Réponse: 3(x - 2)
1. Écris $y = \frac{x}{3} + 2$ . Après échange, l'équation est : x = y/3 + 2
2. Soustrais 2 des deux côtés : x - 2 = y/3
3. Multiplie les deux côtés par 3 : 3(x - 2) = y
4. Donc $f^{-1}(x) =$ 3(x - 2)
16.
Trouve la réciproque de $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ , où $x \neq -2$
Réponse: (-2x - 1) / (x - 1)
1. Écris $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ . Après échange de x et y : x = (y - 1)/(y + 2)
2. Multiplie les deux côtés par $(y + 2)$ : x(y + 2) = y - 1
3. Développe le côté gauche : xy + 2x = y - 1
4. Déplace tous les termes en y d'un côté : $xy - y =$ -2x - 1
5. Factorise y : $y(x - 1) = -2x - 1$ . Résous pour y : (-2x - 1)/(x - 1)
17.
Si $(4, 9)$ est sur le graphique de $f$ , trouve le point correspondant sur le graphique de $f^{-1}$
Réponse: (9, 4)
1. Si $(4, 9)$ est sur $f$ , que nous dit cela sur $f(4)$ ? f(4) = 9
2. Puisque $f(4) = 9$ , que vaut $f^{-1}(9)$ ? 4
3. Donc le point sur $f^{-1}$ est : (9, 4)
18.
Trouve la réciproque de $f(x) = \sqrt{x + 4}$ où $x \geq -4$
Réponse: x^2 - 4
1. Écris $y = \sqrt{x + 4}$ . Après échange : x = sqrt(y + 4)
2. Élève au carré les deux côtés pour éliminer la racine carrée : x^2 = y + 4
3. Résous pour y en soustrayant 4 : y = x^2 - 4
4. Quelle est la restriction de domaine pour $f^{-1}(x)$ ? $x \geq$ 0