Les deux côtés montent

Calcule $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$.

Essaie la substitution directe: $\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : le numérateur vaut $1$, le dénominateur vaut $0$ = Pas un nombre : regardons de plus près

Tableau de valeurs à gauche: $x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ = Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut

Tableau de valeurs à droite: $x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ = Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut

Utilise le signe: $(x-2)^2$ est un carré, donc il est positif des deux côtés de $2$ = Les deux limites (à gauche et à droite) valent $\infty$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Les deux côtés explosent dans le même sens, donc on écrit $\infty$ pour la limite, et $x = 2$ est une asymptote verticale.

Les deux côtés ne sont pas d'accord

Calcule $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}$ et $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$.

À gauche de 2: $x = 1{,}9$ : $\frac{1}{-0{,}1} = -10$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{-0{,}01} = -100$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$

À droite de 2: $x = 2{,}1$ : $\frac{1}{0{,}1} = 10$ ; $x = 2{,}01$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty$

Compare les deux côtés: Un côté tend vers $-\infty$, l'autre vers $\infty$ = Pas de comportement commun

Conclus pour la limite des deux côtés: On ne peut écrire ni $\infty$ ni $-\infty$ pour la limite en $2$ = La limite en $2$ n'existe pas

Answer: À gauche : $-\infty$, à droite : $\infty$. La limite $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$ n'existe pas (et ne s'écrit pas $\infty$). La droite $x = 2$ est quand même une asymptote verticale.

Étude du signe sans tableau

Calcule $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3}$ et $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3}$.

Numérateur en $x = 3$: $3 + 1 = 4$ = Tend vers $4$ (positif, pas $0$)

Dénominateur en $x = 3$: $3 - 3 = 0$ = Tend vers $0$ : la limite est infinie

Signe du dénominateur pour $x < 3$: Par exemple $x = 2{,}99$ : $2{,}99 - 3 = -0{,}01$ = Petit nombre négatif

Limite à gauche: $\frac{\text{positif}}{\text{petit négatif}}$ ; vérification : $\frac{3{,}99}{-0{,}01} = -399$ = $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$

Limite à droite: Pour $x > 3$, le dénominateur est un petit nombre positif ; vérification : $\frac{4{,}01}{0{,}01} = 401$ = $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$

Answer: $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$ et $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$. La courbe a une asymptote verticale en $x = 3$ : elle descend à gauche et monte à droite.

Asymptote ou trou ?

Trouve les asymptotes verticales de $f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2}$ et décris le comportement près de chaque valeur qui annule le dénominateur.

Factorise le dénominateur: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ = Il s'annule en $x = 2$ et $x = -1$

Vérifie le numérateur en $x = 2$: $2 - 2 = 0$ : c'est la forme $\frac{0}{0}$ = Pas forcément une asymptote

Simplifie: $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ pour $x \neq 2$, donc $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}$ = Un trou en $\left(2, \frac{1}{3}\right)$

Vérifie le numérateur en $x = -1$: $-1 - 2 = -3 \neq 0$, dénominateur $0$ = Asymptote verticale $x = -1$

Signes près de $x = -1$: Avec $\frac{1}{x+1}$ : pour $x > -1$ le dénominateur est petit et positif, pour $x < -1$ petit et négatif = $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$

Answer: La seule asymptote verticale est $x = -1$ (à droite $\infty$, à gauche $-\infty$). En $x = 2$, la courbe a un trou, car la limite y est le nombre $\frac{1}{3}$.

Un numérateur négatif sur un carré

Calcule $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2}$.

Numérateur en $x = -4$: $-4 - 1 = -5$ = Tend vers $-5$ (négatif)

Dénominateur près de $x = -4$: $(x+4)^2$ tend vers $0$ et c'est un carré, donc il est positif des deux côtés = Petit nombre positif des deux côtés

Combine les signes: $\frac{\text{négatif}}{\text{petit positif}}$ ; vérification : $x = -3{,}9$ donne $\frac{-4{,}9}{0{,}01} = -490$ = Les deux limites (à gauche et à droite) valent $-\infty$

Answer: $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2} = -\infty$. Les deux côtés descendent, donc la limite s'écrit $-\infty$, et $x = -4$ est une asymptote verticale.

Mistake: Dire « la limite existe et vaut $\infty$ »

Why: $\infty$ n'est pas un nombre réel. Écrire $= \infty$ décrit seulement la façon dont la fonction grandit ; la limite n'existe pas en tant que nombre.

Correct: Dis « $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut quand $x \to a$ » ou « la limite est $\infty$ », et souviens-toi qu'une limite égale à $\infty$ n'est pas une limite qui existe.

Mistake: Écrire $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Why: À gauche, les valeurs tendent vers $-\infty$, à droite vers $\infty$. On ne peut écrire $\infty$ pour la limite que si les deux côtés tendent vers $\infty$.

Correct: Donne les deux limites, à gauche ($-\infty$) et à droite ($\infty$), et dis que la limite en $2$ n'existe pas.

Mistake: Croire que chaque valeur qui annule le dénominateur donne une asymptote verticale

Why: Si le numérateur vaut aussi $0$ à cet endroit, l'expression a la forme $\frac{0}{0}$ et peut se simplifier. La limite peut alors être un nombre, et la courbe n'a qu'un trou.

Correct: Vérifie d'abord le numérateur : dénominateur $0$ et numérateur non nul donnent une asymptote verticale ; les deux nuls, il faut simplifier et regarder à nouveau.

Mistake: Choisir le signe en regardant seulement le dénominateur

Why: Un numérateur négatif inverse le résultat : $\frac{-5}{\text{petit positif}}$ tend vers $-\infty$, pas vers $\infty$.

Correct: Trouve le signe du numérateur et celui du dénominateur du côté étudié, puis combine-les comme dans une division.

La force électrique à courte distance

La force entre deux particules chargées est inversement proportionnelle au carré de leur distance : elle devient donc aussi grande qu'on veut quand la distance tend vers zéro.

Avec $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (en newtons, $r$ en mètres), diviser la distance par deux multiplie la force par quatre, et $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$.

Éliminer les dernières impuretés

Le traitement de l'eau devient de plus en plus difficile à mesure qu'on approche de la pureté totale. Les modèles de l'effort ont souvent une asymptote verticale à 100 %.

Si filtrer $p$ pour cent des impuretés prend $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minutes, alors $T(50) = 50$ minutes, mais $T(90) = 450$ minutes.

Les images données par une lentille

Pour une lentille de distance focale $f$, la distance de l'image est $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Quand l'objet s'approche du foyer, l'image part infiniment loin.

Pour $f = 10$ cm : un objet à $d_o = 20$ cm donne une image à $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, et $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$.

Q: Si la limite vaut $\infty$, est-ce que la limite existe ?

A: Non. Une limite existe seulement si c'est un nombre réel. Écrire $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ est une façon plus précise de dire : « la limite n'existe pas, car les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut vers le positif ».

Q: Quelle est la différence entre une limite infinie et une limite en l'infini ?

A: Dans une limite infinie, $x$ tend vers un nombre et $f(x)$ explose : $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Dans une limite en l'infini, c'est $x$ qui devient aussi grand qu'on veut : $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. La première donne des asymptotes verticales, la seconde des asymptotes horizontales.

Q: Une courbe peut-elle traverser une asymptote verticale ?

A: Non. Près d'une asymptote verticale $x = a$, les valeurs de la fonction explosent, et $f(a)$ n'est généralement pas défini. (Les asymptotes horizontales sont différentes : une courbe peut les traverser.)

Q: Pourquoi une puissance paire au dénominateur donne-t-elle le même signe des deux côtés ?

A: Un carré (ou toute puissance paire) n'est jamais négatif. Près de $a$, $(x-a)^2$ est un petit nombre positif des deux côtés, donc le signe du quotient dépend seulement du numérateur.