Introduction aux limites

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Que signifie ?
1. a) approche 3 quand approche 5
2. b)
3. c) égale 5 quand égale 3
4. d)
Réponse: approche 3 quand approche 5
La notation signifie que plus se rapproche de 5, plus se rapproche de 3. C'est différent de dire .
2.
Trouvez
Réponse: 10
Pour les fonctions continues comme , la limite égale la valeur de la fonction : .
3.
Trouvez
Réponse: 5
La substitution directe fonctionne : .
4.
Quelle forme obtenez-vous en essayant par substitution directe ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Numérateur : . Dénominateur : . Cela donne , une forme indéterminée qui nécessite une factorisation.
5.
Trouvez
Réponse: 6
1. Factorisez le numérateur . Qu'obtenez-vous ? (x+3)(x-3)
2. Après factorisation, annulez le facteur commun. Quelle expression simplifiée reste ? x+3
3. Maintenant substituez dans l'expression simplifiée. 6
6.
Trouvez
Réponse: 2
. Donc .
7.
Quelle affirmation est vraie pour si ?
1. a)La limite égale 0
2. b)La limite égale 4, même si n'est pas défini
3. c)La limite égale
4. d)La limite n'existe pas
Réponse: La limite égale 4, même si n'est pas défini
pour . La limite est , mais n'est pas défini. Cela montre que les limites peuvent exister là où la fonction n'est pas définie !
8.
Trouvez
Réponse: 1
1. Factorisez le numérateur . Quels sont les facteurs ? (x+1)(x+2)
2. Après factorisation et annulation de , quelle expression reste ? x+2
3. Substituez dans l'expression simplifiée. 1
9.
Que vaut ?
1. a)N'existe pas
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Quand approche 0 par la droite (côté positif), devient de plus en plus grand : , , etc. Donc .
10.
Trouvez
Réponse: 2.5
. Quand , et , donc la limite est .
11.
Trouvez
Réponse: 0.5
1. Quelle est la plus haute puissance de dans l'expression ? x^2
2. Après division de tous les termes par , quel est le nouveau numérateur ? 2 - 3/x + 1/x^2
3. Quand , vers quoi tendent , et ? 0
4. Donc la limite se simplifie à 0.5
12.
Pour , que peut-on dire de ?
1. a)La limite égale 1
2. b)La limite égale 0
3. c)N'existe pas car et
4. d)La limite égale -1
Réponse: N'existe pas car et
Par la droite : . Par la gauche : . Comme les limites unilatérales diffèrent, la limite bilatérale n'existe pas.
13.
Trouvez
Réponse: infinity
Quand le degré du numérateur (3) est plus élevé que celui du dénominateur (2), la limite est . Le numérateur croît plus vite que le dénominateur.
14.
Trouvez
Réponse: 0.25
1. Notez que peut être factorisé comme . Comment s'appelle cette technique ? différence de carrés
2. Réécrivez l'expression en utilisant cette factorisation. Qu'est-ce qui se simplifie ? sqrt(x) - 2
3. L'expression simplifiée est . Substituez . 0.25
15.
Vrai ou Faux : Si , alors .
1. a)Faux
2. b)Vrai
Réponse: Faux
FAUX. La limite peut exister même quand n'est pas défini ou a une valeur différente. Par exemple, , mais n'est pas défini.
16.
Trouvez
Réponse: 5/3
1. Factorisez le numérateur . (x-5)(x+5)
2. Factorisez le dénominateur . (x-5)(x+1)
3. Après annulation de , quelle est l'expression simplifiée ? (x+5)/(x+1)
4. Substituez dans l'expression simplifiée. 5/3
17.
Si et , trouvez
Réponse: 15
Par la règle du produit des limites : .
18.
Trouvez
Réponse: 5
Pour les polynômes, la substitution directe fonctionne toujours : .