Un terme qui s'efface

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right)$.

Essaie quelques grandes valeurs de x: $x = 10$ : $3 + \frac{5}{100} = 3{,}05$ ; $x = 100$ : $3 + \frac{5}{10000} = 3{,}0005$ = Les valeurs se rapprochent de $3$

Utilise la règle de base: $\frac{5}{x^2} = 5 \cdot \frac{1}{x^2}$ et $\frac{1}{x^2} \to 0$ = $\frac{5}{x^2} \to 0$

Additionne les limites: $3 + 0$ = $3$

Answer: $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{5}{x^2}\right) = 3$, donc $y = 3$ est une asymptote horizontale.

Degrés égaux : quotient des coefficients dominants

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$.

Compare les degrés: Numérateur : degré $2$. Dénominateur : degré $2$ = Degrés égaux

Divise chaque terme par $x^2$: $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = \frac{6 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$ = Seules les fractions avec $x$ au dénominateur changent

Fais tendre x vers l'infini: $\frac{1}{x^2} \to 0$ et $\frac{5}{x^2} \to 0$, donc l'expression tend vers $\frac{6 - 0}{2 + 0}$ = $\frac{6}{2} = 3$

Vérifie avec une grande valeur: $x = 100$ : $\frac{59999}{20005} \approx 2{,}9992$ = Très proche de $3$

Answer: $\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5} = 3$. L'asymptote horizontale est $y = 3$.

Degré plus petit au numérateur

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$.

Compare les degrés: Numérateur : degré $1$. Dénominateur : degré $2$ = Le dénominateur grandit plus vite

Divise chaque terme par $x^2$: $\frac{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Numérateur $\to 0$, dénominateur $\to 1$

Trouve la limite: $\frac{0 + 0}{1 + 0}$ = $0$

Answer: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x^2 + 1} = 0$, donc $y = 0$ (l'axe des abscisses) est l'asymptote horizontale. Pour $x = 100$, la valeur est $\frac{301}{10001} \approx 0{,}03$.

Vers moins l'infini

Calcule $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3}$.

Repère les termes de plus haut degré: Numérateur : $4x^3$. Dénominateur : $-8x^3$ (la plus haute puissance, même si elle est écrite en dernier) = Les deux sont de degré $3$

Divise chaque terme par $x^3$: $\frac{4 - \frac{1}{x^2}}{\frac{2}{x^3} - 8}$ = Les petites fractions tendent aussi vers $0$ quand $x \to -\infty$

Fais le quotient des coefficients dominants: $\frac{4}{-8}$ = $-\frac{1}{2}$

Vérifie avec une valeur: $x = -10$ : $\frac{-3990}{8002} \approx -0{,}4986$ = Proche de $-0{,}5$

Answer: $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} = -\frac{1}{2}$. L'asymptote horizontale est $y = -\frac{1}{2}$ (des deux côtés).

Degré plus grand au numérateur : pas de limite finie

Décris $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

Compare les degrés: Numérateur : degré $3$. Dénominateur : degré $2$ = Le numérateur grandit plus vite

Divise chaque terme par $x^2$: $\frac{x}{1 + \frac{1}{x^2}}$ = Le dénominateur $\to 1$, mais le numérateur $x$ continue de grandir

Teste de grandes valeurs: $x = 10$ : $\frac{1000}{101} \approx 9{,}9$ ; $x = 100$ : $\frac{1000000}{10001} \approx 99{,}99$ = Les valeurs grandissent sans limite

Answer: Il n'y a pas de limite finie : $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ devient aussi grand que l'on veut, ce qu'on écrit $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2 + 1} = +\infty$. La courbe n'a pas d'asymptote horizontale. (Pour aller plus loin, au-delà de cette leçon : loin à droite, la courbe suit la droite oblique $y = x$.)

Mistake: Remplacer x par l'infini : $\frac{\infty}{\infty} = 1$

Why: $\infty$ n'est pas un nombre : on ne peut ni le remplacer ni le simplifier. Le numérateur et le dénominateur peuvent grandir à des vitesses très différentes, c'est une forme indéterminée.

Correct: Divise d'abord par la plus haute puissance de $x$. Pour $\frac{6x^2 - 1}{2x^2 + 5}$, la limite vaut $3$, pas $1$.

Mistake: Prendre le premier coefficient écrit au lieu du coefficient dominant : $\frac{4x^3 - x}{2 - 8x^3} \to \frac{4}{2} = 2$

Why: Le coefficient dominant est celui du terme de plus haut degré, quelle que soit sa place dans l'expression.

Correct: Le terme de plus haut degré de $2 - 8x^3$ est $-8x^3$, donc la limite vaut $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$.

Mistake: Inverser les règles : "degré plus petit en haut, donc pas de limite"

Why: Quand le dénominateur a le plus grand degré, il grandit beaucoup plus vite, ce qui pousse la fraction vers $0$.

Correct: Degré plus petit en haut : limite $0$. Degré plus grand en haut : pas de limite finie. Degrés égaux : quotient des coefficients dominants.

Mistake: Croire qu'une courbe ne peut jamais couper son asymptote horizontale

Why: Une asymptote horizontale ne décrit que la courbe tout à gauche et tout à droite. Au milieu, la courbe peut la traverser.

Correct: $y = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ a l'asymptote $y = 0$ et la coupe pourtant en $x = -\frac{1}{3}$.

Le café qui refroidit

La loi de refroidissement de Newton dit qu'une boisson chaude refroidit vers la température de la pièce. La température à long terme est une limite en l'infini.

Une tasse de thé suit $T(t) = 22 + 60e^{-0{,}05t}$ (degrés Celsius, $t$ en minutes). Comme $e^{-0{,}05t} \to 0$, le thé se rapproche de $22°C$.

Coût moyen dans un atelier

Les coûts fixes (loyer, machines) sont partagés entre tous les objets produits. Plus il y a d'objets, plus la part de chacun est petite, donc le coût moyen se rapproche du coût unitaire des matériaux.

Une boulangerie avec 300 € de coûts fixes par jour et 2 € d'ingrédients par gâteau a un coût moyen $\frac{300 + 2x}{x}$, qui se rapproche de 2 € par gâteau.

Concentration de sel dans une cuve

Les ingénieurs chimistes modélisent l'évolution d'un mélange au cours du temps. Quand de l'eau salée entre sans arrêt dans une cuve, la concentration se stabilise à une valeur fixe.

Si la quantité de sel dans une cuve vaut $50t$ grammes et le volume $100 + 2t$ litres, la concentration $\frac{50t}{100 + 2t}$ tend vers $\frac{50}{2} = 25$ grammes par litre.

Q: Puis-je simplement remplacer x par un très grand nombre au lieu de calculer la limite ?

A: Un grand nombre comme $x = 1000$ est une bonne vérification et montre souvent la tendance, mais ce n'est pas une preuve. Le calcul (diviser par la plus haute puissance) donne la valeur exacte, par exemple exactement $3$ au lieu de $2{,}9992$.

Q: Les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ sont-elles toujours égales ?

A: Pour les fonctions rationnelles qui ont une limite finie, oui : les deux côtés donnent la même asymptote horizontale. D'autres fonctions peuvent différer. Par exemple, $e^{-x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, mais $e^{-x}$ devient aussi grand que l'on veut quand $x \to -\infty$.

Q: Une courbe peut-elle couper son asymptote horizontale ?

A: Oui. L'asymptote décrit seulement le comportement tout à gauche ou tout à droite. La courbe de $\frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ coupe $y = 0$ en $x = -\frac{1}{3}$, puis s'en rapproche de nouveau.

Q: Que se passe-t-il quand le degré du numérateur dépasse exactement de un celui du dénominateur ?

A: Cela va au-delà de cette leçon, pour aller plus loin. Il n'y a alors pas d'asymptote horizontale, mais la courbe se rapproche d'une droite inclinée (une asymptote oblique). Pour $\frac{x^3}{x^2 + 1}$, c'est la droite $y = x$. On la trouve avec la division euclidienne des polynômes.