Limite d'un polynôme

Calcule $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3)$.

Identifie le type de fonction: $x^2 - 2x + 3$ est un polynôme, défini pour tout $x$ = La substitution directe fonctionne

Remplace $x$ par $3$: $3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3$ = $6$

Écris la limite: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$ = La limite vaut $6$

Answer: $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 3) = 6$. Sur le premier graphique, le point $(3, 6)$ est sur la courbe et les valeurs du tableau se rapprochent de $6$.

Fonction rationnelle, dénominateur non nul

Calcule $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3}$.

Vérifie le dénominateur en $x = 2$: $2 + 3 = 5 \neq 0$ = La règle du quotient s'applique

Remplace dans le numérateur: $2^2 + 1 = 5$ = $5$

Divise: $\frac{5}{5} = 1$ = $1$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3} = 1$

0/0 : factoriser et simplifier

Calcule $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$.

Essaie la substitution directe: $\frac{9 - 3 - 6}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ = Forme indéterminée : transformer d'abord

Factorise le numérateur: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ = Facteur commun $(x - 3)$

Simplifie par le facteur commun ($x \neq 3$ près de la limite): $\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2$ = $x + 2$

Remplace à nouveau: $3 + 2$ = $5$

Answer: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$. Le deuxième graphique montre un trou en $(3, 5)$ : la fonction n'est pas définie en $3$, mais la limite vaut $5$.

0/0 : factoriser en haut et en bas

Calcule $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 1}$.

Essaie la substitution directe: $\frac{1 - 4 + 3}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ = Forme indéterminée

Factorise les deux parties: $\frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 1)(x - 1)}$ = Facteur commun $(x + 1)$

Simplifie: $\frac{x + 3}{x - 1}$ = Expression simplifiée

Remplace $x$ par $-1$: $\frac{-1 + 3}{-1 - 1} = \frac{2}{-2}$ = $-1$

Answer: $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 1} = -1$

0/0 avec une racine : la quantité conjuguée

Calcule $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

Essaie la substitution directe: $\frac{\sqrt{4} - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ = Forme indéterminée

Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x} + 2$: $\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}$ = Le numérateur devient $x - 4$

Simplifie par $(x - 4)$: $\frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ = Expression simplifiée

Remplace $x$ par $4$: $\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4} = 0{,}25$

Answer: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{1}{4}$. Le troisième graphique a un trou en $(4;\ 0{,}25)$.

Mistake: S'arrêter à $\frac{0}{0}$ et répondre "la limite vaut 0", "1" ou "n'existe pas"

Why: $\frac{0}{0}$ n'est pas un nombre ni une réponse finale. Cela dit seulement que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun qui cache la vraie valeur.

Correct: Vois $\frac{0}{0}$ comme un signal : factorise et simplifie (ou utilise la quantité conjuguée), puis remplace à nouveau. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 5$.

Mistake: Simplifier des termes au lieu de facteurs, comme $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{x - 9}{-3}$

Why: Tu ne peux simplifier que par un facteur qui multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur. Un $x$ dans une somme n'est pas un tel facteur.

Correct: Factorise d'abord : $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, donc la limite quand $x \to 3$ vaut $6$.

Mistake: Traiter $\frac{3}{0}$ comme $\frac{0}{0}$ et essayer de factoriser

Why: Quand seul le dénominateur est nul, il n'y a pas de facteur commun à simplifier. Les valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut près de ce $x$.

Correct: $\frac{\text{non nul}}{0}$ signifie pas de limite finie (asymptote verticale). Seul $\frac{0}{0}$ demande de factoriser ou d'utiliser la quantité conjuguée.

Mistake: Multiplier seulement le numérateur par la quantité conjuguée

Why: Multiplier une seule partie change la valeur de la fraction. On a le droit de multiplier par $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$, qui vaut 1.

Correct: Multiplie le numérateur ET le dénominateur par la quantité conjuguée, et laisse le dénominateur factorisé pour pouvoir simplifier par $(x - 4)$.

Vitesse instantanée

Un compteur de vitesse affiche la vitesse à un instant. En physique, on l'obtient comme limite de vitesses moyennes sur des intervalles de temps de plus en plus courts, et cette limite commence toujours par 0/0.

Un chariot se déplace de sorte que sa position est $s(t) = t^2 + 3t$ mètres après $t$ secondes. Sa vitesse moyenne entre la seconde 2 et l'instant $t$ est $\frac{s(t) - s(2)}{t - 2} = \frac{t^2 + 3t - 10}{t - 2}$. En factorisant, on obtient $\frac{(t - 2)(t + 5)}{t - 2} = t + 5$.

Carreaux carrés qui grandissent

Les designers et les ingénieurs se demandent à quelle vitesse une aire change quand une longueur change. Pour un carré de côté $x$, l'aire est $x^2$, et le taux de variation pour une taille donnée est une limite de la forme 0/0.

Un carreau carré de côté $x$ cm a une aire $A(x) = x^2$ cm². Quand le côté passe de 5 cm à $x$ cm, l'aire varie en moyenne de $\frac{x^2 - 25}{x - 5}$ cm² par cm de côté.

Vitesse de croissance d'une plante

Les biologistes modélisent la croissance avec des fonctions racine carrée. La vitesse de croissance un jour donné est une limite qui demande la quantité conjuguée.

Une jeune pousse mesure $h(t) = \sqrt{t}$ dm après $t$ jours. Sa croissance moyenne entre le jour 9 et le jour $t$ est $\frac{\sqrt{t} - 3}{t - 9}$ dm par jour.

Q: Pourquoi puis-je simplifier par $(x - 3)$ alors qu'il vaut 0 en $x = 3$ ?

A: Une limite quand $x \to 3$ n'utilise que des valeurs de $x$ proches de 3, jamais $x = 3$ lui-même. Pour toutes ces valeurs, $x - 3 \neq 0$, donc simplifier est permis. Les deux expressions sont égales partout sauf en $x = 3$, et ce point isolé ne compte pas pour la limite.

Q: Si j'obtiens $\frac{0}{0}$, la limite existe-t-elle ?

A: Tu ne peux pas encore le dire. $\frac{0}{0}$ peut cacher n'importe quelle valeur : $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$. Simplifie d'abord, décide ensuite.

Q: Quand dois-je utiliser la quantité conjuguée plutôt que factoriser ?

A: Quand le 0 vient d'une différence avec une racine carrée, comme $\sqrt{x} - 2$ ou $\sqrt{x + 4} - 2$. Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée (mêmes termes, signe opposé au milieu), car $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4$ ne contient plus de racine.

Q: La limite est-elle la même chose que la valeur de la fonction ?

A: Pour les polynômes et pour les fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas, oui : c'est exactement ce que dit la substitution directe. En un trou, la valeur de la fonction n'existe pas, mais la limite si (les leçons « Continuité » et « Types de discontinuités » approfondissent ce point).