Un logarithme de base 3 avec log

Calcule $\log_3 50$. Arrondis à 2 décimales.

Écris la formule de changement de base avec la base 10: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$ = $\dfrac{\log 50}{\log 3}$

Calcule les deux logarithmes décimaux à la calculatrice: $\log 50 \approx 1{,}69897$ et $\log 3 \approx 0{,}47712$ = Garde tous les chiffres pour l'instant

Divise, puis arrondis seulement à la fin: $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Vérifie avec la définition: $3^3 = 27$ et $3^4 = 81$, donc le résultat doit être entre 3 et 4. De plus $3^{3{,}56} \approx 50$ = Cohérent

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Le même logarithme avec ln

Calcule à nouveau $\log_3 50$, cette fois avec des logarithmes népériens. Arrondis à 2 décimales.

Écris la formule avec la base $e$: $\log_3 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ = $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$

Calcule les deux logarithmes népériens: $\ln 50 \approx 3{,}91202$ et $\ln 3 \approx 1{,}09861$ = Des nombres différents de ceux obtenus avec log

Divise et arrondis: $3{,}91202 \div 1{,}09861 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$ : le numérateur et le dénominateur changent, mais le quotient reste le même. Peu importe que tu utilises log ou ln.

Une valeur exacte grâce à une base bien choisie

Trouve la valeur exacte de $\log_4 8$.

Remarque que 4 et 8 sont des puissances de 2: $4 = 2^2$ et $8 = 2^3$ = Choisis la nouvelle base $c = 2$

Applique la formule de changement de base avec la base 2: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ = $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$

Calcule les deux logarithmes faciles: $\log_2 8 = 3$ et $\log_2 4 = 2$ = $\dfrac{3}{2}$

Vérifie: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ = Correct

Answer: $\log_4 8 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ (valeur exacte, pas d'arrondi)

Échanger la base et l'argument

Tu sais que $\log_2 5 \approx 2{,}3219$. Trouve $\log_5 2$ sans la touche log. Arrondis à 2 décimales.

Écris les deux logarithmes avec la formule de changement de base: $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ et $\log_5 2 = \dfrac{\log 2}{\log 5}$ = Les deux fractions sont inverses l'une de l'autre

Utilise la règle de l'inverse: $\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5}$ = $\dfrac{1}{2{,}3219}$

Divise et arrondis: $1 \div 2{,}3219 \approx 0{,}43068$ = $\approx 0{,}43$

Answer: $\log_5 2 \approx 0{,}43$. Vérification : $2{,}3219 \times 0{,}43068 \approx 1$

Trois décimales et une surprise

Calcule $\log_8 1000$ avec des logarithmes népériens. Arrondis à 3 décimales, puis compare avec $\log_2 10$.

Écris la formule avec ln: $\log_8 1000 = \dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$ = $\dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$

Calcule les deux logarithmes népériens: $\ln 1000 \approx 6{,}907755$ et $\ln 8 \approx 2{,}079442$ = Garde tous les chiffres

Divise et arrondis à 3 décimales: $6{,}907755 \div 2{,}079442 \approx 3{,}321928$ = $\approx 3{,}322$

Compare avec $\log_2 10$: $\log_2 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}322$ aussi, car $\ln 1000 = 3 \ln 10$ et $\ln 8 = 3 \ln 2$, donc les 3 se simplifient = $\log_8 1000 = \log_2 10$

Answer: $\log_8 1000 \approx 3{,}322$, exactement le même nombre que $\log_2 10$

Mistake: Écrire la fraction à l'envers : $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Why: La base va au dénominateur. Une estimation rapide montre l'erreur : $3^3 = 27$ et $3^4 = 81$, donc $\log_3 50$ doit être entre 3 et 4, pas inférieur à 1.

Correct: L'argument en haut, la base en bas : $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Mistake: Transformer un quotient de logarithmes en logarithme d'un quotient : $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Why: La propriété du quotient dit que $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$. Elle concerne une différence de logarithmes, pas une division.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ est une simple division de deux nombres : $1{,}69897 \div 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Mistake: Simplifier le mot log : $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Why: log est une fonction, pas un facteur. On ne peut pas le simplifier comme un nombre commun dans une fraction.

Correct: Calcule d'abord $\log 50$ et $\log 3$, puis divise : $\approx 3{,}56$

Mistake: Arrondir trop tôt : $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Why: Arrondir $\log 50$ et $\log 3$ avant de diviser modifie la deuxième décimale du résultat.

Correct: Divise avec tous les chiffres de la calculatrice (ou tape log(50)/log(3) d'un coup) et n'arrondis que le résultat final : $3{,}56$

Quand ton épargne aura-t-elle doublé ?

Avec des intérêts composés annuels, l'argent est multiplié chaque année par le même coefficient multiplicateur. Le temps de doublement est un logarithme dont la base est ce coefficient.

À 3 % par an, le coefficient est $1{,}03$, donc l'argent double quand $1{,}03^t = 2$, c'est-à-dire après $t = \log_{1{,}03} 2$ ans.

La recherche dichotomique en informatique

La recherche dichotomique trouve un élément dans une liste triée en la coupant en deux encore et encore. Le nombre de divisions par deux est un logarithme de base 2, que les ordinateurs calculent par changement de base.

Une liste triée de 1024 noms demande $\log_2 1024 = 10$ divisions par deux, car $2^{10} = 1024$.

Des bactéries qui triplent chaque heure

Certaines cultures de bactéries triplent chaque heure. Le temps pour atteindre une certaine taille est un logarithme de base 3.

Après 2 heures, la culture est $3^2 = 9$ fois plus grande, après 4 heures $3^4 = 81$ fois plus grande.

Q: Dois-je utiliser log ou ln dans la formule ?

A: Les deux conviennent. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ et $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ valent tous deux $\approx 3{,}56$. Utilise simplement le même logarithme en haut et en bas.

Q: Ma calculatrice a une touche $\log_b$. Ai-je encore besoin de la formule ?

A: La touche te donne le nombre, mais la formule reste nécessaire pour trouver des valeurs exactes comme $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, pour simplifier des expressions, pour résoudre des équations à la main et aux contrôles où seuls log et ln sont autorisés. La touche elle-même utilise le changement de base en interne.

Q: À combien de décimales dois-je arrondir ?

A: À autant que l'énoncé le demande. S'il ne dit rien, on garde en général 2 à 4 décimales (par exemple $\log_3 50 \approx 3{,}56$ ou $3{,}5609$). N'arrondis qu'une seule fois, tout à la fin.

Q: Pourquoi $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ ?

A: Par changement de base, $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ et $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. En multipliant les deux fractions, tout se simplifie et il reste $1$. Les deux logarithmes sont donc inverses l'un de l'autre.