Logarithme de 1 et logarithme de la base

Calcule $\log_9 1 + \log_9 9$.

Calcule $\log_9 1$: Quelle puissance de $9$ donne $1$ ? $9^0 = 1$ = $\log_9 1 = 0$

Calcule $\log_9 9$: Quelle puissance de $9$ donne $9$ ? $9^1 = 9$ = $\log_9 9 = 1$

Additionne les résultats: $0 + 1$ = $1$

Answer: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Logarithme d'une puissance de la base

Calcule $\log_4 64$ sans calculatrice.

Écris l'argument comme une puissance de la base: $4 \times 4 \times 4 = 64$ = $64 = 4^3$

Réécris le logarithme: $\log_4 64 = \log_4(4^3)$ = $\log_4(4^3)$

Utilise $\log_b(b^x) = x$: Le logarithme et la puissance se simplifient, il reste l'exposant = $3$

Answer: $\log_4 64 = 3$

Base élevée à un logarithme

Simplifie $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5}$.

Vérifie les bases: Dans $3^{\log_3 7}$ les deux bases valent $3$, dans $2^{\log_2 5}$ les deux bases valent $2$ = Les bases sont identiques

Applique $b^{\log_b x} = x$ au premier terme: $\log_3 7$ est l'exposant qui transforme $3$ en $7$ = $3^{\log_3 7} = 7$

Applique la même propriété au second terme: $\log_2 5$ est l'exposant qui transforme $2$ en $5$ = $2^{\log_2 5} = 5$

Additionne: $7 + 5$ = $12$

Answer: $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5} = 12$

Utiliser l'égalité des logarithmes

Résous $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 6)$.

Même base des deux côtés, donc on égale les arguments: Si $\log_3 M = \log_3 N$, alors $M = N$ = $2x + 1 = x + 6$

Résous l'équation du premier degré: $2x - x = 6 - 1$ = $x = 5$

Vérifie que les deux arguments sont positifs: $2 \times 5 + 1 = 11 > 0$ et $5 + 6 = 11 > 0$ = Les deux arguments valent $11$

Answer: $x = 5$

Égalité des logarithmes et ensemble de définition

Résous $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$.

Égale les arguments: Égalité des logarithmes en base $4$ = $x^2 - 4 = 3x$

Mets l'équation du second degré sous forme standard: $x^2 - 3x - 4 = 0$ = $(x - 4)(x + 1) = 0$

Trouve les deux candidats: $x - 4 = 0$ ou $x + 1 = 0$ = $x = 4$ ou $x = -1$

Vérifie $x = -1$: $3x = -3$, et $\log_4(-3)$ n'existe pas = $x = -1$ est une solution parasite (à rejeter)

Vérifie $x = 4$: $4^2 - 4 = 12 > 0$ et $3 \times 4 = 12 > 0$ = $x = 4$ convient

Answer: $x = 4$ (le candidat $x = -1$ est rejeté)

Mistake: Écrire $\log_b 1 = 1$ ou $\log_b 1 = b$

Why: Le logarithme est l'exposant, pas le résultat. La question est : quelle puissance de $b$ donne $1$ ?

Correct: $b^0 = 1$, donc $\log_b 1 = 0$ pour toute base autorisée. Par exemple $\log_7 1 = 0$.

Mistake: Croire que $\log_b 0 = 0$ ou que le logarithme d'un nombre négatif est un nombre négatif

Why: Une base positive élevée à n'importe quelle puissance est toujours positive, donc aucun exposant ne donne $0$ ou un nombre négatif.

Correct: $\log_b 0$ et $\log_b(-4)$ n'existent pas. L'argument doit être strictement positif, mais la valeur d'un logarithme peut être négative : $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Mistake: Simplifier une puissance et un logarithme de bases différentes : $2^{\log_3 9} = 9$

Why: $b^{\log_b x} = x$ ne marche que si la base de la puissance et la base du logarithme sont le même nombre.

Correct: Ici les bases sont différentes : $\log_3 9 = 2$, donc $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$, et non $9$.

Mistake: Utiliser l'égalité des logarithmes sans vérifier les arguments

Why: En égalant les arguments, on peut obtenir une valeur qui rend un argument nul ou négatif. Là, le logarithme de départ n'existe pas.

Correct: Remplace toujours chaque candidat dans tous les arguments. Garde-le seulement si tous les arguments sont strictement positifs.

Niveau sonore en décibels

Le niveau sonore d'un bruit est $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ décibels, où $I_0$ est le son le plus faible qu'une personne peut entendre. Les propriétés de base rendent le calcul rapide.

Au seuil d'audition, $I = I_0$, donc $L = 10 \log 1 = 10 \times 0 = 0$ décibel.

Acidité et pH

Les chimistes mesurent l'acidité avec $\text{pH} = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ est la concentration en ions hydrogène en moles par litre. La propriété réciproque transforme un pH en concentration.

L'eau pure a $[H^+] = 10^{-7}$, donc $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$.

Tours d'un tournoi à élimination directe

Dans un tournoi à élimination directe, la moitié des participants est éliminée à chaque tour. Avec $2^n$ participants, il y a $\log_2(2^n) = n$ tours jusqu'au vainqueur.

Avec $16 = 2^4$ équipes, il y a $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ tours.

Q: Pourquoi $\log_b 1$ vaut-il toujours $0$ ?

A: Toute base autorisée élevée à la puissance $0$ donne $1$ : $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $e^0 = 1$. Le logarithme demande cet exposant, donc la réponse est toujours $0$.

Q: La valeur d'un logarithme peut-elle être négative ?

A: Oui. Seul l'argument doit être positif. Par exemple $\log_{10} 0{,}01 = -2$ car $10^{-2} = 0{,}01$. L'argument $0{,}01$ est positif, la valeur $-2$ est négative.

Q: Pourquoi $b^{\log_b x} = x$ exige-t-il $x > 0$, alors que $\log_b(b^x) = x$ marche pour tout $x$ ?

A: Dans $\log_b(b^x)$, l'argument $b^x$ est toujours positif, donc tout réel $x$ est permis. Dans $b^{\log_b x}$, le logarithme $\log_b x$ doit d'abord exister, et cela demande $x > 0$.

Q: Où sont les propriétés du produit, du quotient et de la puissance ?

A: Chacune a sa propre leçon : Propriété du produit pour les logarithmes, Propriété du quotient des logarithmes et Propriété de la puissance des logarithmes. Elles utilisent les propriétés de cette leçon, il vaut donc mieux bien maîtriser celles-ci d'abord.