Lancer un dé équilibré

Crée une distribution de probabilités pour le lancer d'un dé équilibré.

Identifie tous les résultats possibles: Un dé peut montrer 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 = 6 résultats

Détermine la probabilité de chaque résultat: Dé équilibré signifie que chaque face a la même chance : $P = \frac{1}{6}$ = $P(x) = \frac{1}{6}$ pour chaque

Vérifie que les probabilités somment à 1: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ = Distribution valide

Écris le tableau de distribution: | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | $P(x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | = Distribution uniforme

Answer: C'est ce qu'on appelle une **distribution uniforme** car tous les résultats ont la même probabilité de $\frac{1}{6} \approx 0,167$.

Somme de deux dés

Crée une distribution de probabilités pour la somme obtenue en lançant deux dés.

Trouve toutes les sommes possibles: Minimum : $1+1=2$, Maximum : $6+6=12$ = Les sommes vont de 2 à 12

Compte le nombre total de résultats: Dé 1 a 6 options, Dé 2 a 6 options : $6 \times 6 = 36$ = 36 résultats au total

Compte les façons d'obtenir chaque somme: Somme 2 : (1,1) = 1 façon Somme 3 : (1,2), (2,1) = 2 façons Somme 4 : (1,3), (2,2), (3,1) = 3 façons Somme 7 : 6 façons (la plus fréquente) = Chaque somme a une fréquence différente

Calcule les probabilités: $P(2) = \frac{1}{36}$, $P(3) = \frac{2}{36}$, $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ = Non uniforme !

Answer: La distribution n'est **pas uniforme** - la somme de 7 est la plus probable ($P = \frac{1}{6}$), tandis que 2 et 12 sont les moins probables ($P = \frac{1}{36}$).

Calcul de l'espérance mathématique

Un jeu coûte 2 euros à jouer. Tu gagnes 10 euros si tu obtiens un 6 avec un dé équilibré, et rien sinon. Quelle est l'espérance mathématique ?

Identifie les résultats et les gains: Obtenir 6 : Gagner 10 euros, Gain net = 10 - 2 = 8 euros Obtenir 1-5 : Gagner 0 euro, Gain net = 0 - 2 = -2 euros = Deux résultats nets possibles : 8 ou -2

Trouve les probabilités: $P(\text{obtenir 6}) = \frac{1}{6}$ $P(\text{obtenir 1-5}) = \frac{5}{6}$ = Probabilités trouvées

Applique la formule de l'espérance: $E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$ $E(X) = 8 \cdot \frac{1}{6} + (-2) \cdot \frac{5}{6}$ = $E(X) = \frac{8}{6} - \frac{10}{6}$

Calcule: $E(X) = \frac{8-10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ = $E(X) \approx -0,33$ euro

Answer: L'espérance mathématique est de $-\frac{1}{3}$ euro (environ -33 centimes). En moyenne, tu perds 33 centimes par partie - le jeu favorise la maison !

Mistake: Probabilités qui ne somment pas à 1

Why: Une distribution de probabilités valide DOIT avoir toutes les probabilités qui somment exactement à 1. Sinon, tu as soit oublié un résultat, soit fait une erreur de calcul.

Correct: Vérifie toujours : $\sum P(x_i) = 1$. Si la somme est inférieure à 1, il manque des résultats. Si elle est supérieure, tu as compté quelque chose deux fois.

Mistake: Confondre probabilité et fréquence

Why: La fréquence est un compte (par ex. '6 façons d'obtenir un 7'), tandis que la probabilité est un rapport (par ex. '$P(7) = 6/36$').

Correct: Probabilité = résultats favorables divisés par résultats totaux. Exprime-la toujours sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Mistake: Supposer que tous les résultats sont équiprobables

Why: Beaucoup de distributions ne sont PAS uniformes. Avec deux dés, la somme de 7 est plus probable que la somme de 2.

Correct: Compte soigneusement les façons d'obtenir chaque résultat. Seules les expériences simples (un seul dé, pile ou face) tendent à être uniformes.

Contrôle qualité dans la fabrication

Les usines utilisent les distributions de probabilités pour prédire combien d'articles défectueux seront produits.

Si une machine produit 1000 articles et a un taux de défaut de 2%, le nombre attendu de défauts est $1000 \times 0,02 = 20$.

Évaluation des risques en assurance

Les compagnies d'assurance utilisent les distributions de probabilités pour calculer des primes équitables basées sur la probabilité de sinistres.

Si 5% des conducteurs déclarent des sinistres d'une moyenne de 5000 euros, le paiement attendu par conducteur est $0,05 \times 5000 = 250$ euros.

Q: Quelle est la différence entre les distributions discrètes et continues ?

A: Les distributions discrètes ont des résultats dénombrables (comme les lancers de dés : 1, 2, 3, 4, 5, 6). Les distributions continues ont des résultats indénombrables (comme la taille, qui peut être n'importe quelle valeur dans un intervalle). Cette leçon se concentre sur les distributions discrètes.

Q: Une probabilité peut-elle être négative ?

A: Non ! Les probabilités sont toujours comprises entre 0 et 1 (inclus). Une probabilité de 0 signifie impossible, et 1 signifie certain.

Q: Que nous dit l'espérance mathématique ?

A: L'espérance mathématique est le résultat moyen si tu répétais l'expérience de nombreuses fois. Cela ne signifie pas que tu obtiendras exactement cette valeur - c'est une moyenne à long terme.