Heures de révision et notes

Cinq élèves ont noté leurs heures de révision et leurs notes : $(1, 64)$, $(2, 63)$, $(3, 77)$, $(4, 71)$, $(5, 75)$. Calcule $r$ et interprète-le.

Calcule les moyennes: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 70$

Calcule les écarts: $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$ : $-6, -7, 7, 1, 5$ = Chaque somme d'écarts vaut $0$ (vérification rapide)

Multiplie les écarts et additionne: $(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10$ = $S_{xy} = 30$

Élève les écarts au carré et additionne: $S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ $S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160$ = $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 160$

Applique la formule: $r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}$ = $r = 0{,}75$

Interprète en contexte: Signe positif, $|r| = 0{,}75$ est dans l'intervalle de $0{,}60$ à $0{,}79$ = Corrélation positive forte

Answer: $r = 0{,}75$ : une corrélation positive forte. Les élèves qui ont révisé plus longtemps ont en général eu de meilleures notes, mais l'élève qui a révisé 1 heure a fait mieux que celui qui a révisé 2 heures : la tendance n'est pas parfaite.

Température extérieure et chauffage

Une famille note sur cinq jours la température extérieure moyenne (°C) et l'énergie de chauffage (kWh) : $(0, 38)$, $(5, 34)$, $(10, 26)$, $(15, 30)$, $(20, 22)$. Calcule $r$ et décris la relation.

Calcule les moyennes: $\bar{x} = \frac{0+5+10+15+20}{5} = 10$, $\bar{y} = \frac{38+34+26+30+22}{5} = \frac{150}{5} = 30$ = $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 30$

Calcule les écarts: $x_i - \bar{x}$ : $-10, -5, 0, 5, 10$ $y_i - \bar{y}$ : $8, 4, -4, 0, -8$ = Écarts calculés

Multiplie les écarts et additionne: $(-10)(8) + (-5)(4) + (0)(-4) + (5)(0) + (10)(-8) = -80 - 20 + 0 + 0 - 80$ = $S_{xy} = -180$

Élève les écarts au carré et additionne: $S_{xx} = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250$ $S_{yy} = 64 + 16 + 16 + 0 + 64 = 160$ = $S_{xx} = 250$, $S_{yy} = 160$

Applique la formule: $r = \frac{-180}{\sqrt{250 \cdot 160}} = \frac{-180}{\sqrt{40000}} = \frac{-180}{200}$ = $r = -0{,}90$

Interprète en contexte: Signe négatif, $|r| = 0{,}90$ est dans l'intervalle de $0{,}80$ à $1{,}00$ = Corrélation négative très forte

Answer: $r = -0{,}90$ : une corrélation négative très forte. Les jours plus chauds, la famille a utilisé moins d'énergie pour le chauffage.

L'affirmation causale est-elle justifiée ?

Pendant dix semaines d'automne, une ville a relevé les ventes de parapluies et les accidents de la route et a trouvé $r = 0{,}95$. Le journal local écrit : "Les parapluies provoquent des accidents." Cette affirmation est-elle justifiée ?

Décris le sens et l'intensité: $r = 0{,}95 > 0$ et $|r| = 0{,}95$ est dans l'intervalle de $0{,}80$ à $1{,}00$ = Corrélation positive très forte

Demande-toi comment les données ont été recueillies: Personne n'a reçu l'ordre d'acheter ou non un parapluie ; la ville a seulement compté ce qui s'est passé = Données d'observation, pas une expérience

Cherche une variable confondante: Les semaines pluvieuses, les gens achètent des parapluies, et les routes mouillées et la mauvaise visibilité provoquent aussi plus d'accidents = Variable confondante : le temps pluvieux

Donne un verdict: La corrélation est réelle, mais la pluie explique les deux variables = L'affirmation causale n'est pas justifiée

Answer: Non justifiée. La corrélation est très forte ($r = 0{,}95$), mais ce sont des données d'observation et le temps pluvieux fait augmenter à la fois les ventes de parapluies et les accidents. Seule une expérience contrôlée pourrait tester une cause.

Une valeur aberrante change tout

Une élève mesure l'engrais (g) et la croissance des plantes (cm) : $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$, $(4, 8)$, $(5, 0)$. La dernière plante a été mangée par un escargot. Calcule $r$ avec les cinq plantes et compare-le à $r$ pour les quatre premières.

Regarde les quatre premiers points: $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$ sont tous sur la droite $y = 2x$ = Sans la valeur aberrante : $r = 1$

Calcule les moyennes des cinq points: $\bar{x} = \frac{15}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{2+4+6+8+0}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 4$

Calcule les écarts: $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$ : $-2, 0, 2, 4, -4$ = Écarts calculés

Multiplie les écarts et additionne: $(-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(2) + (1)(4) + (2)(-4) = 4 + 0 + 0 + 4 - 8$ = $S_{xy} = 0$

Applique la formule: $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 4 + 0 + 4 + 16 + 16 = 40$, donc $r = \frac{0}{\sqrt{10 \cdot 40}} = \frac{0}{20}$ = Avec la valeur aberrante : $r = 0$

Décide ce que tu rapportes: L'escargot est une raison connue qui n'a rien à voir avec l'engrais = Donner les deux valeurs et expliquer pourquoi la valeur aberrante a été retirée

Answer: Avec la valeur aberrante, $r = 0$ ; sans elle, $r = 1$. Un seul point a effacé une corrélation parfaite. Comme la valeur aberrante a une raison claire (l'escargot), on peut la retirer, à condition de le dire.

Soleil et visiteurs de la piscine (arrondir r)

Une piscine en plein air compare les heures d'ensoleillement et les visiteurs (en centaines) sur quatre jours : $(2, 4)$, $(4, 5)$, $(6, 9)$, $(8, 10)$. Calcule $r$ à 2 décimales et interprète-le.

Calcule les moyennes: $\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$, $\bar{y} = \frac{4+5+9+10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ = $\bar{x} = 5$, $\bar{y} = 7$

Calcule les écarts: $x_i - \bar{x}$ : $-3, -1, 1, 3$ $y_i - \bar{y}$ : $-3, -2, 2, 3$ = Écarts calculés

Calcule les trois sommes: $S_{xy} = 9 + 2 + 2 + 9 = 22$ $S_{xx} = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$ $S_{yy} = 9 + 4 + 4 + 9 = 26$ = $S_{xy} = 22$, $S_{xx} = 20$, $S_{yy} = 26$

Applique la formule et arrondis à la fin: $r = \frac{22}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{22}{\sqrt{520}} \approx \frac{22}{22{,}80} \approx 0{,}9648$ = $r \approx 0{,}96$

Interprète en contexte: Signe positif, $|r| \approx 0{,}96$ est dans l'intervalle de $0{,}80$ à $1{,}00$ = Corrélation positive très forte

Answer: $r \approx 0{,}96$ : une corrélation positive très forte. Les jours plus ensoleillés correspondaient à plus de visiteurs. Il est plausible que le soleil attire les nageurs, mais quatre jours observés ne prouvent toujours pas une cause.

Mistake: Multiplier les valeurs brutes $x_i y_i$ au lieu des écarts

Why: La formule $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ utilise les distances aux moyennes. Les produits bruts sont toujours grands et positifs pour des données positives et donnent un $r$ faux.

Correct: Soustrais d'abord les moyennes. Vérification rapide : les écarts de chaque variable ont une somme égale à $0$.

Mistake: Oublier la racine carrée ou arrondir trop tôt

Why: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ n'est pas $r$. Arrondir $\sqrt{520}$ à $23$ donne $0{,}957$ au lieu de $0{,}965$.

Correct: Prends la racine carrée de $S_{xx} \cdot S_{yy}$ et n'arrondis que le résultat final à 2 décimales.

Mistake: Prendre un $r$ élevé pour la preuve qu'une variable cause l'autre

Why: Des données d'observation peuvent montrer une forte corrélation parce qu'une variable confondante agit sur les deux, comme le temps pluvieux agit sur les ventes de parapluies et les accidents de la route.

Correct: Dis "est associé à". Seule une expérience contrôlée avec répartition au hasard peut justifier une affirmation causale.

Mistake: Ignorer une valeur aberrante ou la supprimer sans raison

Why: Un seul point peut faire passer $r$ de $1$ à $0$. L'ignorer cache le problème ; la supprimer seulement parce qu'elle dérange est malhonnête.

Correct: Trace les données, calcule $r$ avec et sans la valeur aberrante et ne la retire qu'avec une raison claire (erreur de mesure, escargot), en le précisant.

Sciences du sport

Les entraîneurs comparent les heures d'entraînement par semaine et les temps de course pour vérifier si plus d'entraînement va avec des courses plus rapides.

Pour un club de course, les sommes sont $S_{xy} = -45$, $S_{xx} = 25$ et $S_{yy} = 100$. Un $r$ négatif signifie : plus d'entraînement, des temps plus bas (plus rapides).

Lire l'actualité avec un œil critique

Journalistes et lecteurs doivent décider si une corrélation publiée soutient une affirmation de cause à effet.

Un rapport trouve $r = 0{,}83$ entre le nombre de téléviseurs pour 100 habitants d'un pays et l'espérance de vie, et un blog affirme que les téléviseurs font vivre plus longtemps.

Contrôle qualité des capteurs

Les ingénieurs vérifient les mesures pour repérer les relevés erronés, car une seule mauvaise valeur peut masquer une relation parfaite.

Un capteur de température est testé à cinq réglages : $(2, 10)$, $(4, 14)$, $(6, 18)$, $(8, 22)$ et un relevé erroné $(10, 6)$.

Q: Pourquoi les écarts ont-ils toujours une somme nulle ?

A: La moyenne est le point d'équilibre des données : les valeurs au-dessus et en dessous se compensent exactement. Si tes écarts n'ont pas une somme égale à $0$, il y a une erreur dans la moyenne ou dans une soustraction.

Q: Ajouter le même nombre à chaque valeur change-t-il $r$ ?

A: Non. Ajouter une constante déplace tous les points ensemble, donc les écarts restent les mêmes. Multiplier par un nombre positif (par exemple passer des heures aux minutes) ne change pas non plus $r$. Multiplier une variable par un nombre négatif change le signe de $r$.

Q: Quand peut-on retirer une valeur aberrante ?

A: Quand on a une raison claire qui ne dépend pas du résultat : une erreur de mesure, une faute de frappe, une plante mangée par un escargot. Dis toujours que tu l'as retirée et, si possible, donne $r$ avec et sans le point.

Q: Comment peut-on prouver une causalité ?

A: Avec une expérience contrôlée et randomisée : on attribue le traitement (par exemple l'engrais) au hasard à certains sujets et pas à d'autres, on garde tout le reste identique et on compare. La répartition au hasard répartit les variables confondantes de façon équilibrée entre les deux groupes.