Régression linéaire

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Que représente la pente dans une droite de régression $y = mx + b$ ?
1. a)De combien y change pour chaque augmentation d'une unité de x
2. b)Le nombre de points de données
3. c)La moyenne de toutes les valeurs de y
4. d)La valeur de y quand x = 0
Réponse: De combien y change pour chaque augmentation d'une unité de x
La pente $m$ représente de combien $y$ change pour chaque augmentation d'une unité de $x$ . C'est le taux de variation de la relation.
2.
Dans la droite de régression $y = 3x + 10$ , quelle est l'ordonnée à l'origine ?
1. a)3
2. b)10
3. c)13
4. d)30
Réponse: 10
Dans $y = 3x + 10$ , l'ordonnée à l'origine est 10. C'est la valeur de $y$ quand $x = 0$ : $y = 3(0) + 10 = 10$ .
3.
En utilisant $y = 2x + 5$ , quelle est la valeur prédite de $y$ quand $x = 4$ ?
Réponse: 13
$y = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13$
4.
Si une droite de régression a une pente $m = 4$ et passe par le point $(0, 7)$ , quelle est l'ordonnée à l'origine ?
Réponse: 7
Le point $(0, 7)$ signifie que quand $x = 0$ , $y = 7$ . C'est exactement la définition de l'ordonnée à l'origine, donc $b = 7$ .
5.
Une étude trouve que $y = 5x + 20$ prédit les scores aux tests ( $y$ ) en fonction des heures d'étude ( $x$ ). Que signifie le 5 ?
1. a)Le score de base sans étude
2. b)Le score maximum possible
3. c)Le nombre d'étudiants dans l'étude
4. d)Chaque heure d'étude supplémentaire ajoute 5 points
Réponse: Chaque heure d'étude supplémentaire ajoute 5 points
La pente 5 signifie que pour chaque heure d'étude supplémentaire, le score prédit augmente de 5 points. Le 20 est le score de base (ordonnée à l'origine).
6.
En utilisant $y = 2{,}5x - 10$ , prédis $y$ quand $x = 20$ .
Réponse: 40
$y = 2{,}5(20) - 10 = 50 - 10 = 40$
7.
Qu'est-ce qu'un résidu en régression linéaire ?
1. a)La pente de la droite de régression
2. b)L'ordonnée à l'origine de la droite
3. c)La différence entre les valeurs réelles et prédites
4. d)La moyenne de toutes les valeurs de x
Réponse: La différence entre les valeurs réelles et prédites
Un résidu est $y_{\text{réel}} - y_{\text{prédit}}$ . Il montre de combien le point de données réel diffère de ce que la droite de régression prédit.
8.
Trouve l'ordonnée à l'origine d'une droite de régression de pente $m = 3$ passant par $(2, 11)$ .
Réponse: 5
1. Écris la forme de l'équation y = mx + b
2. Substitue m = 3, x = 2, y = 11 11 = 3(2) + b
3. Simplifie 3(2) 6
4. Isole b : 11 = 6 + b 5
9.
La valeur réelle est $y = 25$ et la valeur prédite est $\hat{y} = 22$ . Quel est le résidu ?
Réponse: 3
Résidu = $y - \hat{y} = 25 - 22 = 3$ . Un résidu positif signifie que la valeur réelle est au-dessus de la droite de régression.
10.
Étant donné $\bar{x} = 10$ , $\bar{y} = 50$ et pente $m = 4$ , trouve l'ordonnée à l'origine.
Réponse: 10
1. Choisis la formule pour b $b = \bar{y} - m\bar{x}$
2. Calcule m fois $\bar{x}$ : 4 × 10 40
3. Soustrais de $\bar{y}$ : 50 - 40 10
11.
Pourquoi faut-il être prudent en utilisant la régression pour prédire des valeurs loin en dehors de la plage de données ?
1. a)L'ordonnée à l'origine est indéfinie en dehors de la plage
2. b)La relation pourrait ne pas tenir au-delà des données observées
3. c)Les prédictions hors de la plage des données sont toujours trop grandes
4. d)Les calculs deviennent trop difficiles
Réponse: La relation pourrait ne pas tenir au-delà des données observées
Extrapoler au-delà de tes données suppose que la relation linéaire continue indéfiniment, mais en réalité, les relations changent souvent. Une tendance linéaire dans une plage peut devenir courbe ou s'inverser en dehors de cette plage.
12.
Données : $(1, 3), (2, 5), (3, 7)$ . Trouve la pente de la droite de régression.
Réponse: 2
1. Calcule $\bar{x}$ (moyenne des x : 1, 2, 3) 2
2. Calcule $\bar{y}$ (moyenne des y : 3, 5, 7) 5
3. Calcule le numérateur : somme de (x-x̄)(y-ȳ) 4
4. Calcule le dénominateur : somme de (x-x̄)² 2
5. Divise pour obtenir la pente m = 4/2 2
13.
Une droite de régression est $y = -0{,}5x + 100$ . Si $x = 60$ , quelle est la valeur prédite de $y$ ?
Réponse: 70
$y = -0{,}5(60) + 100 = -30 + 100 = 70$
14.
Si la somme des carrés des résidus pour une droite est minimisée, que cela signifie-t-il ?
1. a)La droite passe par tous les points
2. b)La pente est zéro
3. c)Tous les résidus sont zéro
4. d)C'est la droite d'ajustement
Réponse: C'est la droite d'ajustement
La droite qui minimise la somme des carrés des résidus est la droite d'ajustement. C'est la définition de la droite de régression par les moindres carrés.
15.
Pour les données $(1, 3), (2, 5), (3, 7)$ avec pente $m = 2$ , trouve l'équation de régression complète.
Réponse: y = 2x + 1
1. Trouve $\bar{x}$ 2
2. Trouve $\bar{y}$ 5
3. Utilise $b = \bar{y} - m\bar{x}$ . Calcule $m\bar{x}$ 4
4. Calcule b = 5 - 4 1
5. Écris l'équation y = mx + b y = 2x + 1
16.
Laquelle de ces affirmations décrit le mieux le but de la droite d'ajustement ?
1. a)Montrer la tendance générale des données
2. b)Relier le premier et le dernier point
3. c)Passer par chaque point de données
4. d)Maximiser la distance par rapport aux points
Réponse: Montrer la tendance générale des données
La droite d'ajustement montre la tendance générale ou le motif dans les données, pas les points individuels. Elle nous aide à comprendre la relation globale entre les variables.