Lire les quatre paramètres

Pour $y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1$, trouve l'amplitude, la période, le déphasage, la ligne médiane et l'ensemble image.

Comparer avec la forme générale: Compare avec $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1$

Amplitude et période: Amplitude $= |3| = 3$, période $= \frac{2\pi}{2} = \pi$ = Amplitude $3$, période $\pi$

Déphasage et ligne médiane: $C = \frac{\pi}{6} > 0$, donc décalage vers la droite ; $D = -1$ = $\frac{\pi}{6}$ vers la droite, ligne médiane $y = -1$

Ensemble image: $[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]$ = $[-4, 2]$

Answer: Amplitude $3$, période $\pi$, déphasage $\frac{\pi}{6}$ vers la droite, ligne médiane $y = -1$, ensemble image $[-4, 2]$.

Mettre B en facteur avant de lire le décalage

Trouve le déphasage et la période de $y = \sin(3x - \pi)$.

Mettre $B = 3$ en facteur: $3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ = $y = \sin(3(x - \frac{\pi}{3}))$

Lire le déphasage: $C = \frac{\pi}{3} > 0$ = $\frac{\pi}{3}$ vers la droite

Trouver la période: $\frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{3}$ = Période $\frac{2\pi}{3}$

Vérifier où commence la période: La période commence là où la parenthèse vaut $0$ : $3x - \pi = 0$ = $x = \frac{\pi}{3}$, cela concorde

Answer: Le déphasage est $\frac{\pi}{3}$ vers la droite (pas $\pi$) et la période est $\frac{2\pi}{3}$.

Tracer avec les cinq points clés

Trace une période de $y = 2\sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 1$.

Lire les paramètres: Compare avec $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 2,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{4},\ D = 1$

Période et pas: Période $= \frac{2\pi}{2} = \pi$, pas $= \frac{\pi}{4}$ = Pas $\frac{\pi}{4}$

Les cinq valeurs de x: Commence en $x = C = \frac{\pi}{4}$ et ajoute quatre fois $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4}$

Les cinq valeurs de y (motif du sinus): Ligne médiane $1$, maximum $1 + 2 = 3$, ligne médiane $1$, minimum $1 - 2 = -1$, ligne médiane $1$ = $1,\ 3,\ 1,\ -1,\ 1$

Placer et relier: Trace une onde régulière par les cinq points et prolonge-la des deux côtés = Ensemble image $[-1, 3]$

Answer: Une période va de $x = \frac{\pi}{4}$ à $x = \frac{5\pi}{4}$ en passant par $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\pi, -1)$ et $(\frac{5\pi}{4}, 1)$. L'ensemble image est $[-1, 3]$.

Un cosinus réfléchi

Trace une période de $y = -3\cos(\frac{1}{2}(x + \pi)) + 2$.

Lire les paramètres: $x + \pi = x - (-\pi)$ = $A = -3,\ B = \frac{1}{2},\ C = -\pi,\ D = 2$

Période et pas: Période $= \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$, pas $= \frac{4\pi}{4} = \pi$ = Pas $\pi$

Les cinq valeurs de x: Commence en $x = -\pi$ et ajoute quatre fois $\pi$ = $-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi$

Les cinq valeurs de y: Le cosinus commence par un maximum, mais $A < 0$ l'inverse : minimum, ligne médiane, maximum, ligne médiane, minimum avec minimum $2 - 3$ et maximum $2 + 3$ = $-1,\ 2,\ 5,\ 2,\ -1$

Ensemble de définition et ensemble image: $[D - |A|,\ D + |A|] = [2 - 3,\ 2 + 3]$ = Définie sur tous les réels, ensemble image $[-1, 5]$

Answer: Points clés $(-\pi, -1)$, $(0, 2)$, $(\pi, 5)$, $(2\pi, 2)$, $(3\pi, -1)$. L'ensemble image est $[-1, 5]$.

L'ordre des transformations

Décris, dans le bon ordre, comment $y = \sin(x)$ devient $y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{2}) - 1$, et trouve le premier maximum à droite du début de la période.

Mettre $B = 3$ en facteur: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Changements horizontaux (à l'intérieur): D'abord contracter d'un facteur $3$ (période $\frac{2\pi}{3}$), puis translater = $\frac{\pi}{6}$ vers la gauche

Changements verticaux (à l'extérieur): D'abord dilater d'un facteur $2$ (amplitude $2$), puis translater = $1$ vers le bas, ligne médiane $y = -1$

Premier maximum: Début $x = -\frac{\pi}{6}$, pas $= \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$, donc maximum en $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$ avec $y = -1 + 2$ = $(0, 1)$

Vérifier dans l'équation de départ: $2\sin(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1$ = $1$, c'est juste

Answer: Contracter horizontalement d'un facteur $3$, translater de $\frac{\pi}{6}$ vers la gauche, dilater verticalement d'un facteur $2$, translater de $1$ vers le bas. La période commence en $x = -\frac{\pi}{6}$ et le premier maximum est $(0, 1)$.

Mistake: Lire le déphasage de $y = \sin(2x - \pi)$ comme $\pi$

Why: Le décalage est le nombre soustrait à $x$ lui-même, pas à $2x$. $B$ multiplie toute la parenthèse, il comprime donc aussi le décalage.

Correct: Mets d'abord $B$ en facteur : $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$, le décalage est donc $\frac{\pi}{2}$ vers la droite.

Mistake: Décaler $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ vers la droite

Why: La forme générale contient $x - C$. Ici $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$, donc $C = -\frac{\pi}{3}$ est négatif.

Correct: Un signe plus dans la parenthèse signifie un décalage vers la gauche : $\frac{\pi}{3}$ vers la gauche.

Mistake: Commencer les points clés en $x = 0$ ou avancer d'une période entière

Why: Après un déphasage, la période ne commence plus en $0$, et les cinq points doivent partager UNE période en quatre parts égales.

Correct: Commence en $x = C$ et avance par pas de $\frac{\text{période}}{4}$. Pour une période $\pi$, le pas est $\frac{\pi}{4}$.

Mistake: Garder l'ordre habituel maximum/minimum quand $A < 0$

Why: Un $A$ négatif réfléchit l'onde par rapport à sa ligne médiane : chaque maximum devient un minimum et inversement.

Correct: Pour $y = -2\sin(x)$, le motif est ligne médiane, minimum, ligne médiane, maximum, ligne médiane. L'amplitude reste $2$.

Hauteur dans une grande roue

La hauteur d'une nacelle sur une grande roue qui tourne est un cosinus transformé : le centre de la roue donne la ligne médiane et le rayon l'amplitude.

Une roue de rayon 20 m, dont le centre est à 22 m du sol, fait un tour toutes les 30 minutes. Une nacelle qui part du bas est à la hauteur $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ mètres après $t$ minutes, et la période vaut $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$.

Les marées dans un port

Les capitaineries prévoient la profondeur de l'eau avec un modèle sinusoïdal de période environ 12 heures, pour que les navires sachent quand entrer au port.

La profondeur $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ mètres, $t$ heures après minuit, a pour ligne médiane 4 m, pour amplitude 1,5 m et pour période $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ heures. La profondeur oscille entre 2,5 m et 5,5 m.

Heures de jour

Le nombre d'heures de jour au cours de l'année suit une sinusoïde de période 365 jours. La ligne médiane est à 12 heures, la durée du jour aux équinoxes.

Dans une ville du nord de l'Europe, $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ heures, où $t$ est le numéro du jour de l'année. Le jour 80 (vers le 21 mars) est l'équinoxe de printemps, et la durée du jour oscille entre 8 et 16 heures.

Q: Pourquoi le déphasage de $\sin(2x - \pi)$ n'est-il pas $\pi$ ?

A: Parce que $B = 2$ multiplie toute la parenthèse. Mets-le en facteur : $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. La période commence là où la parenthèse vaut $0$, en $x = \frac{\pi}{2}$, donc le décalage vaut $\frac{\pi}{2}$.

Q: L'ordre des transformations compte-t-il vraiment ?

A: Oui, pour une translation et une dilatation dans la même direction. Si tu décales $\sin(x)$ de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite et ENSUITE tu contractes d'un facteur $2$, tu obtiens $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, un décalage de seulement $\frac{\pi}{4}$. Les changements horizontaux et verticaux ne s'influencent pas, tu peux donc traiter ces deux groupes dans n'importe quel ordre.

Q: Les points clés fonctionnent-ils de la même façon pour le cosinus ?

A: Oui. Commence en $x = C$ et avance par pas de $\frac{\text{période}}{4}$ comme pour le sinus. Seul le motif des valeurs de y change : le cosinus fait maximum, ligne médiane, minimum, ligne médiane, maximum (ou l'inverse si $A < 0$).

Q: Et si $B$ est négatif ?

A: Réécris d'abord la fonction. Le sinus est impair, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, donc $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. Le cosinus est pair, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, donc $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Ensuite $B > 0$ et la méthode fonctionne comme d'habitude.