Identités trigonométriques paires et impaires

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle fonction trigonométrique est paire ?
1. a)Cotangente
2. b)Tangente
3. c)Sinus
4. d)Cosinus
Réponse: Cosinus
Le cosinus est une fonction paire car . Le graphique du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des y. Le sinus, la tangente et la cotangente sont toutes des fonctions impaires.
2.
Que vaut ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Puisque le sinus est impair : . Nous savons que , donc son opposé est .
3.
Si , que vaut ? (Entrez sous forme de fraction avec sqrt pour racine carrée)
Réponse: sqrt(2)/2
Le cosinus est pair, donc . L'angle négatif donne le même résultat que l'angle positif pour les fonctions paires.
4.
Laquelle des fonctions suivantes est impaire ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
La tangente est impaire car . Le cosinus et la sécante sont des fonctions paires. est le carré d'une fonction paire, ce qui la rend paire.
5.
Simplifiez en une seule expression avec . (Incluez le signe)
Réponse: -tan(60)
Puisque la tangente est impaire : . Le signe moins passe de l'intérieur à l'extérieur de la fonction.
6.
Simplifiez :
Réponse: -tan(x)
1. Appliquez l'identité impaire à : -sin(x)
2. Appliquez l'identité paire à : cos(x)
3. Simplifiez : -tan(x)
7.
Si , que vaut ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Puisque le sinus est impair : . Le signe de la valeur du sinus change quand l'angle est négatif.
8.
Simplifiez en une expression utilisant uniquement des angles positifs.
Réponse: cos(x) - sin(x)
9.
Simplifiez :
Réponse: -sec(theta) tan(theta)
1. La sécante est-elle paire ou impaire ? paire
2. Donc sec(theta)
3. La tangente est-elle paire ou impaire ? impaire
4. Donc -tan(theta)
5. Multipliez : -sec(theta) tan(theta)
10.
Que vaut ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Réponse:
Puisque la cotangente est impaire : . Nous savons que car .
11.
La fonction est-elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre ? (Entrez : paire, impaire ou aucun)
Réponse: odd
. Puisque , la fonction est impaire.
12.
Prouvez que pour tout .
Réponse: 0
1. Appliquez l'identité impaire à : -sin(x)
2. Substituez dans l'expression : 0
3. Est-ce vrai pour toutes les valeurs de ? (oui/non) oui
13.
Simplifiez :
Réponse: -2sin(x)
1. Appliquez l'identité paire à : cos(x)
2. Appliquez l'identité impaire à : -tan(x)
3. Appliquez l'identité impaire à : -sin(x)
4. Réécrivez : -cos(x)tan(x) - sin(x)
5. Simplifiez en utilisant : sin(x)
6. Réponse finale : -2sin(x)
14.
Si , est-elle paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?
1. a)Ni l'une ni l'autre
2. b)Ne peut pas être déterminé
3. c)Paire
4. d)Impaire
Réponse: Paire
. Puisque , la fonction est paire. Mettre au carré une fonction impaire produit une fonction paire !
15.
Prouvez :
Réponse: -tan(x/2)
1. Appliquez l'identité paire : cos(x)
2. Appliquez l'identité impaire : -sin(x)
3. Substituez : -((1-cos(x))/sin(x))
4. L'identité de demi-angle dit . Donc notre réponse est : -tan(x/2)
16.
Si et , que vaut ?
Réponse: -0.48