Passer en sinus et cosinus

Démontre que $\tan x \cos x = \sin x$.

Choisis le membre sur lequel travailler: Le membre de gauche contient deux fonctions, celui de droite une seule. Pars de la gauche. = $\tan x \cos x$

Utilise l'identité du quotient: Remplace $\tan x$ par $\frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Simplifie le facteur commun: $\cos x$ au numérateur et au dénominateur se simplifient (lorsque $\cos x \neq 0$) = $\sin x$

Compare avec le membre de droite: Le membre de gauche est maintenant exactement le membre de droite = $\sin x = \sin x$ ✓

Answer: $\tan x \cos x = \sin x$ est une identité pour tout $x$ tel que $\cos x \neq 0$.

Réduire au même dénominateur, puis Pythagore

Démontre que $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$.

Passer en sinus et cosinus: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\frac{1}{\cos x} - \cos x$

Utiliser un dénominateur commun: $\cos x = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$ = $\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}$

Appliquer l'identité pythagoricienne: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin^2 x}{\cos x}$

Isoler un facteur: $\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\sin x \tan x$ ✓

Answer: $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ est une identité (pour $\cos x \neq 0$). Vérification en $x = 60°$ : $2 - 0{,}5 = 1{,}5$ et $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 1{,}5$.

Multiplier par l'expression conjuguée

Démontre que $\dfrac{\sin x}{1 - \cos x} = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Choisir l'astuce: Le dénominateur $1 - \cos x$ a pour expression conjuguée $1 + \cos x$. Multiplie le membre de gauche par $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$, qui vaut 1. = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Développer le dénominateur: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x}$

Appliquer l'identité pythagoricienne: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\sin^2 x}$

Simplifier une fois par $\sin x$: $\frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$ = $\frac{1 + \cos x}{\sin x}$ ✓

Answer: Les deux fractions sont égales pour tout $x$ tel que $\sin x \neq 0$. L'expression conjuguée a transformé $1 - \cos x$ en $\sin^2 x$.

Partir du membre de droite

Démontre que $\dfrac{\cos x}{1 - \sin x} = \sec x + \tan x$.

Choisir le membre: Le membre de droite contient deux fonctions différentes que l'on peut regrouper, donc pars de là. = $\sec x + \tan x$

Convertir et regrouper: $\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{1 + \sin x}{\cos x}$

Multiplier par l'expression conjuguée de $1 + \sin x$: $\frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$ = $\frac{\cos^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$

Simplifier une fois par $\cos x$: $\frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ = $\frac{\cos x}{1 - \sin x}$ ✓

Answer: En partant du membre de droite, nous avons obtenu le membre de gauche : l'identité est démontrée (lorsque $\cos x \neq 0$ et $\sin x \neq 1$).

Réfuter avec un seul angle

$\sin x + \cos x = 1$ est-elle une identité ?

Tester des angles simples: $x = 0°$ : $0 + 1 = 1$. $x = 90°$ : $1 + 0 = 1$. = Vrai pour ces deux angles

Tester un angle intermédiaire: $x = 45°$ : $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ = $1{,}414 \neq 1$

Conclure: Un contre-exemple suffit : les deux membres diffèrent en $45°$. = Ce n'est pas une identité

Le voir sur un graphique: $y = \sin x + \cos x$ est une onde et $y = 1$ une droite : elles ne se rencontrent qu'en certains points. = Les courbes ne se superposent pas

Answer: $\sin x + \cos x = 1$ est une équation (vraie en $0°$, $90°$, $360°$, ...), pas une identité. Le contre-exemple $x = 45°$ la réfute.

Mistake: Travailler sur les deux membres comme dans une équation, par exemple faire le produit en croix de $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ pour obtenir $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Why: Le produit en croix, le passage de termes ou la division des deux membres partent tous de l'affirmation que les deux membres sont égaux, ce qui est justement ce que tu dois démontrer.

Correct: Transforme un membre jusqu'à obtenir l'autre membre. Le signe égal reste intact jusqu'à la toute fin.

Mistake: Vérifier un ou deux angles et considérer l'identité comme démontrée

Why: $\sin x + \cos x = 1$ marche en $0°$ et en $90°$ mais échoue en $45°$. Quelques exemples vrais ne prouvent jamais qu'une égalité est vraie pour tout angle.

Correct: Utilise les nombres uniquement pour tester ou réfuter. Une démonstration demande de l'algèbre avec des identités vraies pour tout $x$.

Mistake: Couper une fraction au dénominateur : $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Why: Tu peux séparer une somme au numérateur, $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, mais jamais une somme au dénominateur. En $x = 60°$, le membre de gauche vaut $1{,}732$ et celui de droite $-0{,}866$.

Correct: Pour te débarrasser de $1 - \cos x$ au dénominateur, multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $1 + \cos x$.

Mistake: Écrire $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x$ ou $1 + \cos^2 x$

Why: Le produit de deux expressions conjuguées est une différence de deux carrés : les deux termes sont élevés au carré et le signe est moins.

Correct: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

Comment le calcul formel teste les identités

Les logiciels de mathématiques vérifient si deux formules sont égales en remplaçant l'angle par de nombreuses valeurs au hasard avant de tenter une démonstration symbolique complète. Si un seul angle donne des valeurs différentes, les formules sont différentes.

Pour comparer $\sec x - \cos x$ et $\sin x \tan x$, un programme évalue les deux en des angles comme $17°$, $60°$ et $133°$ et trouve les mêmes valeurs à chaque fois.

Physique : simplifier une formule de plan incliné

Les formules de physique sortent souvent d'un calcul sous une forme lourde. Une identité les transforme en une forme plus courte, plus rapide à calculer et plus facile à comprendre.

Une force sur un plan incliné a été obtenue sous la forme $F = \dfrac{P\sin\theta}{\tan\theta}$. Comme $\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$, la formule est simplement $F = P\cos\theta$.

Infographie : les rotations conservent les longueurs

Les jeux font tourner des points avec $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ et $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. En développant $x'^2 + y'^2$ et en utilisant $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, on démontre que $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ pour tout angle : les objets ne se déforment jamais.

Le point $(3, 4)$ tourné de $30°$, $90°$ ou $217°$ reste toujours à la distance 5 de l'origine.

Q: Pourquoi ne puis-je pas simplement faire la même chose sur les deux membres ?

A: Appliquer la même opération aux deux membres part de l'idée qu'ils sont égaux, ce que tu veux justement démontrer. Certaines de ces opérations (élever au carré, multiplier par une expression qui peut valoir 0) peuvent même rendre vraie une affirmation fausse. Travailler sur un seul membre évite ce piège.

Q: Par quel membre dois-je commencer ?

A: En général par le plus compliqué : celui qui a le plus de termes, de fractions ou de fonctions comme $\sec$, $\csc$, $\tan$, $\cot$. Simplifier est plus facile qu'inventer des complications.

Q: Que faire si je suis bloqué à mi-chemin ?

A: Essaie un autre outil : écrire en $\sin$ et $\cos$, réduire au même dénominateur, factoriser ou multiplier par l'expression conjuguée. Tu peux aussi simplifier les deux membres séparément jusqu'à obtenir la même expression, tant que chaque membre est transformé de son côté.

Q: Regarder le graphique, est-ce une démonstration ?

A: Non. Si les courbes des deux membres se superposent partout, l'identité est très probablement vraie, et si elles ne se superposent pas, elle est fausse. Mais une image ne montre qu'une fenêtre limitée, donc une démonstration demande toujours des étapes algébriques.